Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
54
В дальнейшем нам понадобятся также правила преобразования производных при сопряжении. Непосредственно из определений получаем
5
оср
О
OCp
+
5
Оср
F+(?).
(135)
¦Формула написана для более сложного случая фермионного поля: правые производные переходят в левые, и наоборот. Последнее равенство в (135) вытекает из соотношения /* = /"1
и правила 8,8 (Мер) = M~1т8/8ср, справедливого для любой лилейной замены переменной. Для бозонного поля правые и .левые производные в (135) не различаются.
Пользуясь соотношениями (135) и (9), получаем
о
L 4- F{y)
оср х 1 7
+
о
9ч
о
— L*—
5 Cp ^ OtP+
F+(<?)
Оср
Z7+(T), (136)
где обозначено L -~-*.Г L*I+. Запишем эту формулу для обеих статистик сокращенно, в фермионном случае считая все производные правыми:
Г 5
L
о
Sep OCp
+
54 'S
о—о
Sep ^ оср
(137)
В заключение приведем полезную формулу для простой свертки п. Рассмотрев сопряжение равенства (16) при учете
(134) и соотношения ср+ = /срт получим п — 1*п+1+. Отсюда легко показать, что определенная соотношением (25) симметричная часть простой свертки ns инвариантна по отношению к операции (137), т. е. #5 = х/*я*/+ = Ti8.
2. Формальная унитарность S-матрицы вне поверхности масс. Оператор S-матрицы U, будучи формальным пределом унитарного оператора развития (55), должен удовлетворять условию унитарности U+U = I = UU+ в каждом порядке теории возмущений. В теории поля большего, конечно, требовать нельзя, потому что в строгом смысле искомый предел оператора развития, как правило, не существует.
Для взаимодействия, не содержащего производных по времени, оператор S-матрицы дается формулой (64), причем входящий в нее функционал взаимодействия Sv(q>) является вещественным вследствие эрмитовости квантового гамильтониана взаимодействия. По правилам предыдущего раздела получаем
U
+
N ехр
1 8 д s
2 оср оср
ехр [-/5,,(?)]
(138)
где л = х/*Д*/+. Приведя произзедение U+U к TV-форме с по-
55
)
мощью (49), получим U+U = NQ (ср), где Q (ср) имеет следующий вид:
А---к — --—Д---\--—п
ехр
2 Ьср! OCp1 1 2 OCp2 оср2
8cpj 5<р2
X
(139)
л
Для справедливости операторного равенства U+U = AfQ(Cp) = = 1 достаточно, чтобы функционал Q (ф) обращался в единицу на поверхности масс, т. е. на множестве решений свободного уравнения (2). Но в действительности оказывается, что в порядках теории возмущений функционал Q(q) равен единице тождественно. Это свойство, более сильное, чем обычная операторная унитарность, называют унитарностью вне поверхности масс.
Переходя к доказательству, введем для сокращения записи двухкомпонентное поле ф===(фЬ ф2) и симметризуем квадратичную форму производных в (139):
2
ь
ЬФ
Д 2п О А ' оф
ь
ь
ЬФ
ш
ЬФ
2
'S
о
ЬФ
M
ЬФ
Разложим функционал (139) в ряд* по степеням Sv(®2) — — S^(Cp1). Поскольку вклад нулевого порядка равен, очевидно, единице, мы должны показать, что для всех /г>1 и любых ср
ехр
Г1 б
2 5Ф
M
ЬФ
-0.
(140)
<Pie<Pa=<P
Перейдем от переменных срь ср2 к полусумме фі = (<Рі+<?2)/2 и разности ф2 = Cp1 — ср2. Записав эту замену в матричной фор-* ме ф = получим
о
оФ
ЬФ
ЬФ
оФ OV
Mg1
ь
По известным матрицам Mug находим матрицу M = gA4gT: Mn — (д-f- Д -f п + х;гт)/4, M22 = А + Д — п — m\ M12 = хЛГи==
= (Д— A-f-*#T— #)/2. Пользуясь определением (137) для А,, связью (29) между свертками А и п и формулой п = Pn+J+, приведенной в конце предыдущего раздела, получим следующие явные выражения для матричных элементов М:
M11=*-J-(л + здт), Af22 = O, Д2 = х/Йі = 0(12) [*/гт —л]. (141)
* В работе [9] предложен красивый технический прием, позволяющий избежать разложения в ряд. Это достигается использованием тождества ехр / [Sv Ы - Sy(V1)] - 1 - / J dt [V (ср2, 0 (Cp1, t)\ ехр / (t, - оэ; ср>) -
— Sv(t, — оо; Cp1)] (в обозначениях (59)) и формул типа (51), причем роль одного из множителей F играет V (<р2, t) — V (Cp1, f), а второго — ехр/ [SV (/, — оо; ср2) — Sv (t, — оо; Cp1)]. Но мы будем придерживаться традиционной схемы доказательства.
56
Из определений ясно, что M имеет смысл матрицы сверток для поля -ф, и для дальнейшего важно отметить, что компонента \|?2 имеет отличную от нуля свертку только с «фь причем эта
свертка является опережающей: М2\(х, хг) =0 при t>i'.
Выражение (140) совпадает с точностью до множителя с общим членом (96) ряда теории возмущений для производящего функционала S-матрицы пары полей ярь ф2 со свертками (141) и взаимодействием Sv(ф2)—Sv(qi). После выполнения дифференцирования в (140) поле Ip2 = фі—Ф2 полагается равным нулю, другими словами, рассматриваются лишь такие диаграммы, в которых все поля ф2 свернуты.
Исключение диаграмм с закороченными линиями осуществляется, как обычно, путем перехода к приведенной вершине (99), которая в данном случае совпадает с левой частью (140) при /2==1 до перехода к фі=ф2. Перекрестные члены формы производных не дают вклада и мы получаем
5„(Ti)- (142>
Эта приведенная вершина, как и исходная, нечетна относительно перестановки фі^ф2. Действительно, ввиду /-локальности взаимодействия свертку А в (142) можно заменить на п&
