Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
71
а для теории с действием s' = —iw связные функции ГриНсЗ представляются функционалом is (с точностью до нормировок) .
Теория возмущений для интеграла (181) дает диаграммную технику для вычисления функционала действия S по известному функционалу W, т. е. по функциям Грина. Если же считать известным функционал s, то полученные таким путем соотношения можно рассматривать как систему уравнений для определения неизвестных функций Грина.
Умножим обе части равенства (181) на постоянную dr определенную соотношением d~l = J Dy ехр (— xcpDcp/2), в котором D—полный пропагатор (см. определения в п. 4.9). Воспользовавшись затем формулой (167), получим
- {2^yxcd ехр IS (—А) =
е*р (г -W °~г і) ехр!іА* + У 4г wn с?)"
{ пф2
. (182
9=0
Согласно общим правилам п. 4.1 правая часть этого равенства представляется в виде суммы единицы и всех графиков с линией Z)-1 и вершинными множителями inWn-\-iAbn\, где wn — коэффициенты в разложении (127) функционала W(A), т. е. связные функции Грина теории с действием s. Прологарифмировав (182) и приравняв затем коэффициенты при всех степенях А в двух частях получающегося равенства, мы сможем представить затравочные величины, т. е. коэффициенты в разложении функционала s1 в виде сумм скелетных графиков с «одетыми» линиями и вершинами, о которых говорилось выше. Мы не будем на этом задерживаться, так каю подобные соотношения гораздо лучше получать с помощью техники функциональных преобразований Лежандра (см. гл. VI).
Отметим, что логарифм предэкспонеициального множителя в (182) легко найти, вычислив определяющие с и d гауссовы
интегралы по правилу (161): In [cd (2tc)vx] — — (x/2)"tr In (D-1A) (напомним, что А и D — соответственно затравочный и полный
пропагаторы). Множитель (2tc)vx от преобразования Фурье сократился с аналогичными множителями от гауссовых интегралов.
§ 7. УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИОННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Уравнения Швингера. Хорошо известные уравнения Швингера [18] представляют собой точные соотношения, связывающие различные функции Грина. Все эти соотношения могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариаци-
72
онных производных, которое проще всего выводится [13] с помощью равенства
выражающего инвариантность меры Dq по отношению к трансляциям ф-нр-Ьє на хорошо убывающие функции є(X) (подробнее см. п. 3). В обоснование равенства (183) для фермионов, можно сослаться на формулы (150).
Дифференцируя экспоненту в (183), получаем
В бозонном случае умножение подынтегрального выражения на ср равносильно дифференцированию интеграла по /А, а в фермнонном, как видно из (12), — по —¦ ІА. Это позволяет вы-
нести функционал 8S/8<p за знак интеграла в виде дифференциальной операции, что и дает искомое уравнение Швингера;
С этого момента и до конца главы мы будем приводить все формулы для случая бозонного поля, но это делается только для упрощения записи. При обобщении на фермионы требуется лишь следить за типом (левые — правые) и порядком написания производных, и в каждом конкретном случае это нетрудно сделать.
Для теории с полиномиальным по полю действием (184) есть уравнение конечного порядка в вариационных производных. Уравнение определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется функционал H(A) =
= G^]G(A). Сделав в (184) подстановку G(А) = ехр W(A) и сократив после выполнения дифференцирования множитель ехр W, получим уравнение Швингера для производящего функционала связных функций Грина (см. определения в п. 4.9). Приравнивая нулю почленно коэффициенты при всех степенях іА в полученных уравнениях, мы придем к бесконечной системе зацепляющихся уравнений для функций Грина.
В качестве примера рассмотрим уравнения для связных, функций Грина в теории с действием 5(ф) =qKq)/2-\-kfdx ф3(Х)/6. Уравнение Швингера (184) для такой теории принимает вид:
dx'K(x, x')WiA(x') + ±-&?(iA (я))2+ А(*))G(A) = O. (185>
Подставив сюда G = epx W, получаем уравнение для W1 которое
(183>
(184),
7^VIbI запишем сокращенно (смысл обозначений понятен из сравнения со (185)):
кгШ-JL — Д ЫА 2
5 (1Ay
ЫА
+ A = O.
Это равенство удобно свернуть с функцией [АД] (х) dx' А(х')/±(х'у х):
А
ЬА
2"
ЬА2 '
-АЛА.
(186)
Мы учли, что A = //С"1. Подставив IF(A) в виде ряда (127) и сравнивая коэффициенты при всех степенях /А, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина Wn. Эти уравнения удобно изображать графически, пользуясь обо-
значениями: wa s,
В таких обозна-
чениях получающаяся из (186) система зацепляющихся уравнений выглядит следующим образом (лг = 0, 1, 2, ...):
-Se
її
- * 7
(187)
Здесь блі—символ Кронекера. Выпишем два первых уравнения (187):
(188)
Жирная линия обозначает полный пропагатор д = мг = —(Т
а кружок ^ Г7)--ампутированную функцию (см. определения в п. 4.9). Умножив второе из уравнений (188) справа на D 1 и слева на получаем равенство
(189)
которое определяет величину S = A"1—D-1, называемую собственной энергией или массовым оператором [1].
Столь же просто получаются уравнения Швингера и для лю-*бой другой (полиномиальной) конкретной теории. Исходной точкой всегда может служить общее соотношние (183), которое,
