Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При доказательстве утверждения (119) мы будем использовать универсальные обозначения, в которых диаграммная техника одинакова для всех теорий, и ограничимся случаем бозон-ного поля, чтобы не обсуждать вопрос о знаках при графиках. Рассмотрим выражение ехр 2aCada, в котором суммирование производится по всем связным свободным графам, da — вклад, такого графа в R(q>), Са — коэффициент при нем. Мы должны показать, что рассматриваемая величина совпадает с самим функционалом /?(ср):
^(?)-=riexp(Carfa)==
Sn
1
Cm°dm«
Mn \ a a
(120)
• ф • TTh 0? • • • ^
Общий член ряда в правой части представляет диаграмму, в которой связный граф d\ повторен т{ раз, граф d2— т2 раз, <и т. д. Эта диаграмма будет связной, если одно из чисел та равно единице, а все прочие — нулю; ясно, что связная диаграмма da входит в (120) с правильным коэффициентом Са. Остается убедиться, что и для несвязных графиков коэффициенты в правой части (120) точно такие же, как и в /?(ср). Если это так, то
С(..;dl1- ... )= Пв[і//Иа!-СГа], (121)
где С (... d™a...) — коэффициент при диаграмме, содержащей тх раз граф d\, т2 раз граф d2, и т. д. Воспользовавшись формулой (103), равенство (121) можно переписать в виде соотношения между сихмметрийными числами:
s( ... d™a ... ) = Па[та\ s7a], (122)
справедливость которого уже очевидна, поскольку группа симметрии рассматриваемого несвязного графа состоит из групп
симметрии каждой его связной компоненты (что дает na(sa а))* и перестановок как целого всех вершин одинаковых связных компонент (что дает Па(та!)). Убедившись в справедливости равенства (122), мы доказали тем самым искомое утверждение (119).
Для фермионной теории следовало бы еще показать, что> знак при несвязной диаграмме равен произведению знаков всех ее связных компонент. Для взаимодействия типа Юкавы это очевидно, если вспомнить правило знаков — минус единица на каждую замкнутую фермионную петлю. Этим замечанием мы здесь и ограничимся, а в п. 7.4 будет приведен такой вариант
50
доказательства теоремы о связности, который вообще не требует знания коэффициентов и знаков при графиках, что делает обобщение на фермионные теории тривиальным.
9. Графы для функций Грина. Сравнение формул (84), (87), (88) показывает, что производящий функционал функций Грина G(A) совпадает с вакуумным ожиданием S-матрицы для теории с взаимодействием Sv(q) +срЛ, зависящим от функционального параметра А. Добавку срЛ часто интерпретируют как реальное взаимодействие с „источником" или „внешним полем" A1 но это вопрос чисто терминологический.
Из сказанного выше ясно, что функционал G(A) имеет точно такое же диаграммное представление, как и S-матрица, но вместо (97) вершинными множителями в диаграхммах G(A) будут
(аргументы х\ ... Xn подразумеваются), где 6ni — символ Кро-некера, Jln — вершинные множители (97) при ф = 0.
Классифицируя диаграммы по числу вершин Ж\, напишем
Крестиками обозначены вершины Ж\ = Жі + іА, к которым подходит одна линия А, кружок обозначает внутренность диаграммы, не содержащую вершин Ж и множитель l/nl выделен просто для удобства. Каждый из свободных графов входит в (124) с обычным симметрийным коэффициентом (103).
Согласно определению (85) полная функция Грина Gn является коэффициентом при (іА)п/п\ в (124). Поэтму
Общий член этого ряда имеет п + т внешних линий А. Крайние аргументы п линий (в (125) нижних) являются свободными и соответствуют аргументам х{ ... Xn функции Gn; аргументы остальных т линий (в (125) верхних) сворачиваются с вершинными множителями Ж\у изображаемыми в (125) точками. Отметим, что для большинства рассматриваемых обычно теорий функционал взаимодействия Sv((p) не содержит линейных по ф членов и потому Ж\ = 0. Тогда в (125) остается лишь слагаемое с т = 0.
Согласно общим правилам п. 1 выражение (124) есть сумма единицы и всех графиков, как связных, так и несвязных. Из
Жп = Жп+Чоп1А
(123)
(124)
(125)
4*
51
доказанной в предыдущем разделе теоремы Майера следует, что
W(A) E=InG(A)= связная часть G (А). (126)
-Связные функции Грина Wn(Xi ... Xn) определяются как коэффициенты в аналогичном (85) разложении функционала W(A):
W(A) = ^_ol!n\. Wn(IAT (127)
(в сокращенной записи (85)). Таким образом, W(A) является по определению производящим функционалом связных функций Грина Wn-
Из (126) следует, что Wn являются связными частями полных функций Грина Gn и получаются из (125) отбрасыванием вкладов всех несвязных графиков (и единицы при п=0). Чтобы пояснить это, напомним, что G(A) есть сумма единицы и графиков и потому W(A) = InG(A) состоит только из графиков. Вследствие этого все степени W2 (A), Ws (А) и т. д. связных графиков вообще не содержат (здесь важно, что в W (А) нет слагаемого типа единицы), так что в правой части равенства G (А) = ехр W (А) = 1 + W (А) + W2 (A)12 + ... связные графики входят лишь в слагаемое W(A). Отобрав
в этом равенстве коэффициент при (1А)п/п\у слева получим по определению полную функцию Gn, а справа—Wn от W(A) плюс вклады более высоких степеней W(A). Последние, как отмечалось выше, содержат только несвязные графики, следовательно, связные графики Gn и Wn совпадают. С другой стороны, из (126) следует, что все графики Wn связны, так что Wn есть просто сумма вкладов всех связных графиков Gn.
