Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
найти функционал G = ехр W = det ехр W (мы выделили из W слагаемое с trlnA, которое не представляется графиком). Ясно, что в конечном итоге мы придем к тому же самому графическому представлению, которое можно получить прямо из (193) с помощью соотношения (167) и общей техники § 4. Поэтому мы не будем останавливаться на анализе графиков и обсудим только один вопрос — доказательство теоремы о связности логарифма, в данном случае функционала IF = In G. В п, 4.8 мы доказывали эту теорему, опираясь на знание симметрийных коэффициентов при графиках. Сейчас мы убедимся, что гораздо проще это сделать с помощью уравнений движения (204). Доказательство сводится к наблюдению, что уравнения обладают свойством
сохранения связности, а именно: если все графики W вплоть до некоторого порядка являются связными, то получаемые при итерациях уравнений (204) графики следующего порядка также будут связными. Это очевидно из общей структуры правой части (204): входящие в нее блоки Wk являются кратными производными по Ai от связных по предположению графиков W, а дифференцирование по ai не нарушает связности; присоединяя связные блоки Wk к вершине An, как показано в (204), мы получим, конечно, связный график. Тем самым по индукции доказывается связность всех графиков W.
Остается убедиться, что W содержит все связные графики,
которые есть в g, и притом с теми же коэффициентами. Для этого напишем
G =ехр IF=I + W+ W/2/2-f ...
80
и отберем затем сьязную часть этого равенства. По доказанному
связная часть W совпадает с самим W, а все графики любой из
степеней Wn, н> 1, несвязны (как произведения графиков на графики). Отсюда немедленно следует искомое утверждение:
W есть связная часть G.
Этот способ доказательства обладает тем преимуществом, что он не требует знания симметрийных коэффициентов при графиках и очевидным образом обобщается на любые теории с фер-мионами.
§ 8. !-НЕПРИВОДИМЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
!.Определения. Рассмотрим функционал W(A) =ln G(A), где G(A) — интеграл (193). Производная
6W(A)IoA1(X) = (Ii(X) N (206)
имеет смысл первой связной функции Грина теории с действием (192). Равенство (206) выражает cti как функционал от всех потенциалов А.
Преобразованием Лежандра W по Ax называют функционал
Г(сы, A") = W(A)—a{Au (207)
где обозначено а\А\= Jdxа\(х)Лх(х) и предполагается, что потенциал Ax в правой части равенства выражен как функционал от cti и А" = {Ап, пфХ) с помощью уравнения (206).
Функционал (207) иногда называют эффективным действием, но мы предпочтем термин первое преобразование Лежандра, имея в виду преобразование по первому потенциалу. Более сложные преобразования рассматриваются в гл. VI.
Дифференцируя (207) по cti и учитывая (206), получаем равенство
^^=[dx'^^b4^r~^T^{4Al) = -Ai{x), (208)
определяющее явно (при известном Г) потенциал Ai как функционал от cti и A/f и неявно — ai как функционал от потенциалов А. Из уравнения (208) видно, что функционал
Ф(аь А) = Г(аь A") + H1A1 (209)
в точке (I1(A) = IW[A)JbAx стационарен по отношению к вариациям Ot1 при фиксированных потенциалах А:
8ФК, AVSa1L1^ =0. (210)
Ясно также, что значение Ф в точке стационарности совпадает с W(A).
С» Зак. 102 8|
Пользуясь соотношениями (206) и (208), получаем равенство»
M1(J) J Sa1(Z) ЬАХ(У) — J aZ Oa1 (X) Oa1 (Z) ' 5Л, (*) M1 (у) ' ^ >
показывающее, что вторые производные ThW являются ядрами взаимно-обратных с точностью до знака операций. В дальнейшем соотношения типа (206), (208), (211) будут записываться сокращенно:
bw аг , VT VW , /010.
a- -^-=-A1, __._-=--і. (212)
M1" Oa1 Ae2 М2
Кратные производные W„=o" ІУ/ВЛІ* (аргументы X1 ...х№ подразумеваются) являются связными функциями Грина теории с действием (192). В терминах Г первая связная функция*
= OC1 становится независимой переменной, а высшие связные функции Wn, я>1, можно представить в виде функционалов от Oc1 и А", воспользовавшись вытекающим из определения Wn рекуррентным соотношением UWJoA1 — Wn+1 и выразив входящий в него повышающий оператор 2) = Ъ'оАг в переменных а1э А":
^ M1 Aa1 - ЪА\ Oa1 — UaH **i
(мы учли соотношения (212)). Для п^\ имеем
52Г 4-і о
Oa^ I 0G(i
п-1
at. (214)
Тем самым функции Wn выражаются в переменных at, А".
Кратные производные опТ/оа\п = Гп (аргументы Xx ... Xn подразумеваются) называются 1 -неприводимыми функциями Грина (в переменных ось А") теории с действием (192). Чтобы выразить эти функции в переменных А, нужно сделать замену а\-+<х\(А).
Соотношения (214) позволяют явно выразить связные функции Wn через 1-неприводимые функции Гп. При п = 2 соотношение (214) совпадает с (211) и служит для определения полного пропагатора D = W2 = —IV"1. При вычислении старших функций Wn, п>2, нужно пользоваться следующим правилом дифференцирования обратной операции: (L"1)' =—L-1UL-1. С его помощью получим
я[-г,-'] = гЛ-Г7'Р = Д. (215)
Здесь и далее жирная линия обозначает полный пропагатор D =—IY Л заштрихованный кружок, от которого отходит a^3>
82
линий, обозначает 1-неприводимую функцию Гп, такой же неза-штрихованный кружок будет обозначать ампутированную функцию WT =D~nWn (см. определение в п. 4.9). Из (214) и (215) получаем
