Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Васильев А.Н. -> "Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике" -> 30

Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.

Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике — Ленинград, 1976. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcionalmetodi1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 121 >> Следующая

если не пользоваться универсальными обозначениями, превращается в систему уравнений — по одному на каждое независимое поле ф.
2. Линейные уравнения для связных функций Грина.
Уравнение Швингера (184) линейно по отношению к полным функциям Грина Gn, но нелинейно по отношению к их связным частям Wn. Линейные уравнения для связных функций можно получить из формулы "Доминисиса — Энглерта (181) точно таким же образом, каким из интеграла (164) получаются уравнения Швингера:
0 = |о?^ехр[\*7(?) + М<р].
Отсюда при учете равенства (181) находим искомое уравнение
(4?г7Г +iA(x)\expiS(-A)=0. (190)
Умножив его на ехр (—/5(— А)) и обозначив
Qn(X1... хп; А)=ехр[-iS(- А)} ЬА ы ехр[iS(-А)},
получаем
сю
л=1
X \ . .. J dx2 ... dxn Wn (X1X2... Xn) Qn.x (х2 ... хп; А) = 0. (191)
Приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях А, получаем бесконечную систему уравнений для связных функций Грина Wn. Эти уравнения в отличие от уравнения Швингера (184) линейны по каждой из функций Wn, но зато они „зацепляют" сразу все функции Wn даже для полиномиального действия 5, тогда как уравнения Швингера в этом случае „зацепляют" лишь конечное число связных функций. Такова плата за выигранную линейность.
3. Общий метод вывода уравнений. Рассмотрим функционал действия самого общего вида:
oo
1
«(?)=Л(?)=2іп-Л,?я
л = 0
со
= 2 -jjj J- • • §dxi . • • dxn An (X1 ... хп) ср (хп),.. ср (X1). (192)
Симметричные функции Ап(х\ ... хп), которые будут называться потенциалами, могут быть как обычными функциями, так и обобщенными. Конкретной теории соответствует выбор
75
определенных значений потенциалов A = [Aq Ax .. .}. В фермион-ном случае нечетные потенциалы A2k+\ следовало бы считать величинами фермионного типа, а четные — бозонкого, чтобы функционал (192) всегда был бозонным. Интеграл
G(A) - j Dcp exp /5 (9) = j Dcp exp A (9) (193)
является функционалом от всех потенциалов А. Очевидно, что этот функционал удовлетворяет следующей системе уравнений:
__i_= J____ /7 ф 1 И94Л
ЬАП (X1 ...хп) я ! ЬАг (X1) ... M1 (.?) 1 ^ 1 ^1
(для n = 1 получаем тождество), которые в дальнейшем будут называться уравнениями связи и записываться сокращенно:
BG
Кроме того, функционал (193) удовлетворяет уравнению Швингера (184):
/ OO
О я , ч 1 а ( Ь \л-1
O= Dcp^-ехрЛЫ= yjJ-±wrAJ~ 0(A). (195)
Здесь и далее мы не указываем явно аргумент х, подразумевая, что
[An<?n~l] (X1)— J. . . j dxo . . . яГхИл (^i ... хя) ? (Xn) ... т (х2).
Уравнение Швингера определяет G(A) с точностью до множителя, не зависящего от потенциала A]f тогда как вся система (194), (195) определяет G(A) с точностью до числового множителя.
Допустим, что функционал Л(ф) содержит только четные потенциалы A2n, и поставим вопрос: каким образом написать полную систему уравнений для G(A) в терминах только четных потенциалов? Такая постановка задачи имеет смысл для фермн-онной теории, если мы хотим полностью избавиться от антиком-мутирующих переменных.
Уравнения связи пишутся в этом случае очевидным образом:
ЬА2п~{2п) ! { ЬА2 ) U> П ^
а аналог уравнения Швингера можно вывести из равенства
0=|ят^И*')ехрД(?)] =
= J D9 [З (X - X') + ? (X') exp А (?).
76
Выражение внутри квадратной скобки в последнем интеграле содержит только четные степени поля, и потому его можно вынести за знак интеграла в виде функционала от производной 0,'6A2.
Обсудим теперь уравнения типа (184), (195) с более общей точки зрения. Допустим, что в интеграле (193) сделана замена q (X) = F(x; q'), где F — некоторый функционал от фЛ зависящий параметрически от х. Допустим, что при замене ф-мр' пространство полей, по которому производится интегрирование в (193), переходит в себя. В фермионном случае мы ограничились бы линейными неоднородными преобразованиями поля, которые были изучены в п. 6.2.
Якобиан замены J = DyIDq)' равен det Мх, где M—линейная операция с ядром M(х, x') = oq(x)/oq'(x'). Это ядро, а вместе с ним и /, зависит функционально от ф', если замена нелинейна. В дальнейшем рассмотрении важную роль будут играть те преобразования ф—кр', для которых якобиан Dq/Dq/ равен единице. Такие преобразования составляют, очевидно, группу, которую мы будем называть группой движений пространства q.
Всякая регулярная замена q = q(q') индуцирует преобразование потенциалов A-^A':
A(q)=A(q(q'))^A'(q'). (196)
Ясно, что интеграл (193) инвариантен относительно всех преобразований А-+А', индуцируемых группой движений пространства ф:
G(A) = /Dq>exp А (др) = JDq'exp Л'(ф') = G(A'). (197)
Простейшими элементами группы движений являются трансляции на некоторую фиксированную хорошо убывающую функцию є* : ф(х) = q'(х) + є(х). Эти преобразования составляют группу, а уравнение Швингера (195), как мы сейчас убедимся, выражает инвариантность функционала G(A) по отношению к индуцированной группе преобразований потенциалов. Действительно, обсуждаемая инвариантность выражается равенством
G(A) =JDqexp А (ф) =/?>фехр A (q + є) = G(A*),
которое показывает, что функционал G(Ae) в действительности от є не зависит. Его первая вариация по є в окрестности 8 = 0
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed