Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
8? G = j dx s (х) J Dcp 8/8<р (х) • ехр А (ср),
откуда видно, что равенство (195) эквивалентно требованию инвариантности G(A) по отношению к инфинитезимальным преобразованиям индуцированной группы Л->ЛЄ.
* Напомним, -ти определенные в п. 6.4 пространства E(A) инвариантны по отношению к таким трансляциям.
Пусть теперь y(x)=F(x, є; q/) —некоторая группа Ли с параметрами (числовыми или функциональными) є, являющаяся
ПОДГруППОЙ ГруППЫ ДВИЖеНИЙ. Будем СЧИТаТЬ, ЧТО ф=ф' при
є = 0. Инвариантность функционала (193) относительно инфини-тезимальных преобразований индуцированной группы Л->Л8 выражается равенством
0=Г/>рЗ?ехрЛ(?)= Гяср85ср!1М.ехрЛ(?), (198)
где og.. .обозначает первую вариацию по є в точке е = 0. Легко видеть, что в нормальных условиях (смысл этой оговорки поясняется ниже) получающееся отсюда уравнение для G(A) является следствием уравнения Швингера. Действительно, при получении из (198) уравнения множитель 6єф[бЛ (ф)/6ф] вьшосится за знак интеграла в виде дифференциальной операции с заменой ф->б/бЛь и мы получаем уравнение LUG = O, где L и U— операции, порождаемые соответственно множителями бєф и бЛ(ф)/6ф. Уравнение Швингера в этих обозначениях имеет вид VG = O, так что равенство LUG = O является его автоматическим следствием.
Если L и U — дифференциальные операции конечного порядка, то может оказаться, что порядок операции LU меньше, чем порядок U, поскольку символ беф -[ЬА (ф)/оф] обозначает не простое произведение, а свертку по аргум-ентам 6еф (х) и 6/6ф(Х). В частности, так будет хтогда, когда старшая степень полиномиального действия А (ф) инвариантна относительно рассматриваемого преобразования и потому не дает вклада в вариацию 6єЛ(ф). В таких случаях из (198) получается уравнение более низкого порядка, чем уравнение Швингера; уравнения такого типа называют тождествами Ворда (см. примеры в гл. III).
Сказанное выше не относится к так называемой аномальной ситуации, в которой имеет место явление спонтанного нарушения симметрии. На нашем языке суть этого явления в том, что равенство LUG = O оказывается неверным несмотря на то, что уравнение Швингера UG = O выполняется. Это возможно, грубо говоря, тогда, когда при сворачивании операции L с UG в получающемся выражении возникают расходимости и эта „дополнительная бесконечность" сокращает ,,нуль" UG. Обычный механизм появления этой бесконечности — голдстоуновские частицы (см. гл. VI).
4. Итерационное решение уравнений. В этом разделе мы проанализируем итерационное решение уравнений движения (194), (195) и на основе этого анализа дадим еще один вариант доказательства теоремы о связности логарифма (первый вариант см. в п. 4.8).
Умножив уравнения (194), (195) на G~~1 = exp(—W), получим
bWMn = HnInU пФ\\ (199)
78
Л+2|1/(л-1)!] ДДп-і = 0. (200)
Мы ввели функции Hn (аргументы X1 ... Xn подразумеваются): Яя=ехр(- W)Щ"ехр W= (J* + ^+L (201)
являющиеся полиномиальными формами производных Wn =
= bnW/oAu п^\. По смыслу производные Wn являются связными функциями Грина, a Hn — полными функциями Грина беа вакуумных петель для теории с действием (192).
Уравнения (199), (200) можно итерировать, строя решение в. виде кратного степенного ряда по вершинам An, /:>3. Для определения нулевого приближения W^ получаем из (199), (200) систему уравнений
A1 + 4"MW1 = O1 IWIbA0-X, IW1M2= (W2 + Wl)/2 (202)
(мы подставили H0 = 1, H1= Wu H2 = W2+ W\), решение которой имеет вид
W{0) = 4~ tr In А + \- AMi + А> (203)
с точностью до несущественной аддитивной постоянной. Величина A = —А21 в (203) является затравочным пропагатором. Пользуясь равенством A2"1 = 6tr In A2IoA2, нетрудно убедиться, что (203) действительно удовлетворяет уравнениям (202). Отметим, что в фермионном случае trlnA вошел бы в (203) с другим знаком.
Для определения разности W—W^ достаточно уравнений (199) с п>3, которые удобно свернуть с соответствующими потенциалами An:
(204)
Мы изобразили графически общую структуру правой части* обозначив кружком с к внешними линиями производную Wn-Точке соединения всех п линий в (204) сопоставляется вершина An, несущественные для дальнейшего числовые коэффициенты опущены.
При построении итерационного решения блоки IV/> в правых частях (204) вычисляются по найденному ранее приближению W. Исходной точкой является нулевое приближение (203), в котором
Tl
g W _ 1
Jl;+...+ TLy = Tl
79
(
/
n Wk = 0 для k^3. Отбрасывая в (201) вклади Wk с З,
получаем Hs = SW2W1+ W\, Я4 = ЗWl+6W2W\ -f W?, и т. д. Подставляя эти величины в правые части (204), находим
и т. д. (обычно рассматриваются теории с An=O для д>4, так что из системы (204) остается только два уравнения). Определение функционалов AnoW/oAn равносильно определению W, поскольку соответствующие графики различаются лишь числовым коэффициентом — при графике AnoW/bAn имеется дополнительный множитель, равный числу вершин An. В частности, графики первого порядка (205) входят в W с такими же, как и в (205), коэффициентами.
На следующем шаге итерационной процедуры мы определим графики W второго порядка, и т. д. Зная W, мы можем затем
