Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 Можно показать, что среди всех несмещенных критериев с точным уровнем значимости 2/3, предназначенных для проверки гипотезы о = О, двусторонний критерий t является несмещенным, равномерно наиболее мощным относительно всех альтернатив а^.О (см. Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948, стр. 583). — Прим. перев.
“Lehmann Е. L. and Stein С., Most powerful tests of composite hypotheses I, Ann, of Math. Stat., 19 (1948), 495.
ГЛАВА ХП
ПОРЯДКОВЫЕ КРИТЕРИИ
Порядковыми критериями называют такие критерии, в которых используются не сами значения наблюденных величин, а лишь их упорядоченность, т. е. соотношения х < у и х> у (между двумя измеренными величинами). Такие критерии не зависят от функций распределения случайных величин' х и у, и поэтому их называют не зависящими от распределения или непараметрическими.
Изучение теории порядковых критериев не требует больших предварительных познаний. Будет предполагаться известным лишь содержание гл. I и II.
§ 61. Критерий знаков
А. ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП
Если 10 подопытных животных подвергались некоторому воздействию и во всех 10 случаях наблюдалось повышение кровяного давления, то, руководствуясь лишь одним чутьем, можно утверждать, что такой результат не является случайным! Это произвольное заключение можно обосновать следующим образом. Если бы наблюдаемые изменения кровяного давления колебались чисто случайно, то с большой вероятностью примерно половина всех разностей состояла бы из положительных величин, а другая половина — из отрицательных. Для каждого отдельного животного вероятность положительной разности — вероятность повышения кровяного давления — равнялась бы 1/2. Следовательно, вероятность того, что все разности будут положительными, равнялась бы (1/2)10 = 1/1024. Столь маловероятный исход можно не принимать в расчет и поэтому следует заключить, что указанное выше утверждение соответствует действительности.
Этот совсем простей вывод заключения можно превратить в точный порядковый критерий с произвольно заданным уровнем значимости /3.
Пусть в результате наблюдений получены п разностей хл — yt {г = 1,2,..., п), из которых Тс положительны и п — 1с отрицательны. Возможность равенства xt = yt мы пока исключаем. Гипотеза II, которую нужно проверить, утверждает, что при каждом г оба результата наблюдений xt и yt — независимые, одинаково
21 Б. Л. ван дер Варден - 1062
322
Гл. XII. Порядковые критерии
распределенные случайные величины. Согласно этой гипотезе, вероятность того, что разность xt— yt окажется положительной, в точности равна вероятности, что эта разность будет отрицательной. Так как вероятность события ж, = yt равна нулю, то вероятности для положительных и отрицательных разностей равны 1/2. Это и является тем следствием гипотезы Я, которое нужно проверить с помощью критерия знаков.
Можно также положить zt = xt — yt\ разности z1,...,zn являются независимыми случайными величинами. Тогда подлежащая проверке гипотеза Я утверждает, что для каждого г вероятности событий z(> 0 и z( < 0 равны друг другу.
P(z, > 0) = Р(2,- < 0). (1)
Критерий знаков можно использовать для проверки гипотезы (1) также и в том случае, когда z не являются разностями.
Если вероятность события г( — 0 равна нулю, то из (1) следует,
что
Р(г, > 0) = -2-. (2)
При этом предположении вероятность того, что среди всех г1(. . ., zn положительных величин окажется больше, чем т, равна
IL+J+L+J + ••• + РК1Г- (3)
Если т —• наименьшее число, для которого выражение (3) еще не превосходит /9, то критерий знаков можно сформулировать так:
Гипотезу П следует отвергнуть, коль скоро к (количество положительных zt) окажется больше, чем т.
Уровень значимости этого критерия, т. е. вероятность отвергнуть гипотезу Ы, когда она правильна, очевидно, не превосходит /3. Ведь критерий именно так и строился!
Сформулированное правило представляет собой односторонний критерий знаков. Двусторонний критерий отвергает гипотезу Я не. только тогда, когда количество к (количество положительных z,) превышает границу т, но также и тогда, когда количество п — к (количество отрицательных zf) превышает эту же границу. Если граница т осталась той же самой, что и в одностороннем критерии, то уровень значимости двустороннего критерия вдвое больше уровня одностороннего критерия, следовательно, он не превосходит 2/9.
§ 61. Критерий знаков 323
В таблице 9 указаны границы т для п =s 50, соответствующие обычным уровням значимости, а именно:
Двусторонний критерий: 2/3 = 0,05; 0,02; 0,01;
Односторонний критерий: /3 = 0,025; 0,01; 0,005.
б. связи
Спрашивается, как нужно поступать в том случае, когда имеются «связи», т. е. когда некоторые разности xt — у; = zt обращаются в нуль? Можно, например, половину связей считать положительными, а другую половину — отрицательными. Можно также для каждой связи бросать монету, и если выпадет герб, то считать разность zt положительной. Однако лучше всего связи просто отбросить1. Пусть к — количество положительных разностей z(, I — количество отрицательных разностей и пусть п = 1с + I. Если к этим п разностям применить критерий значимости, то можно гарантировать, что уровень значимости не превзойдет § (в случае двустороннего критерия — 2/J).
