Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 127

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 178 >> Следующая


Если хотят проверить простую гипотезу II и если альтернатива II' также является простой, то, как мы видели в § 59, для проверки Н всегда существует критерий, являющийся наиболее мощным относительно альтернативы Н'. Но если Н' является сложной, то могут иметь место два случая: либо существует равномерно наиболее мощный критерий, относительно всех простых гипотез, содержащихся в И', либо такого критерия не существует.

Пример 42 (§ 59) может служить иллюстрацией обоих случаев. В этом примере гипотеза II является простой и гласит, что все
316 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев

независимы и распределены нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Альтернативная гипотеза Н' зависит от параметра а и поэтому является сложной; согласно этой гипотезе, х{ независимы и распределены нормально со средним значением а и единичной дисперсией. Если допустимы лишь положительные значения а, то существует равномерно наиболее мощный критерий: гипотеза II отвергается тогда, когда

х превышает cffn. Но если допустимы также и отрицательные значения а, то равномерно наиболее мощного критерия не существует. Критерий, отвергающий большие значения х. теряет свою мощность при отрицательных а, и критерий, отвергающий малые значения х, не является наиболее мощным при положительных а.

Для того чтобы в подобных случаях хорошие критерии можно было отличать от менее хороших, вводится понятие несмещенности. Критерий для проверки простой гипотезы И называется несмещенным, если вероятность отвергнуть Н, когда она верна, не превосходит вероятность отвергнуть И, когда верна одна из гипотез II', т. е.

p(F|2?) ¦=? p(F|2Z') для всех Н'. (1)

Другими словами, вероятность отвергнуть гипотезу II, когда она правильна, не должна превосходить вероятность отвергнуть И, когда Н ложна. Вполне разумное требование!

Если в примере 42 расширить гипотезу Н' и считать допустимыми все положительные и отрицательные средние значения а, то односторонние критерии, которые отвергают гипотезу Ы, коль скоро х > c/fn или коль скоро х < — с/Уп, не будут несмещенными. Для того чтобы получить несмещенный критерий, нужно воспользоваться абсолютной величиной | х j и определить критическую область с помощью неравенства | х | > c'j^n. Если с' выбрать таким образом, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу Н, когда она правильна, в точности равнялась ;3, то этот критерий будет несмещенным, наиболее мощным критерием относительно всех альтернатив Н'. Доказательство1 можно найти в работе: Neyman J. and Pearson Е. S., On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses, Philos. Trans. Royal Soc., London, A 231 (1933).

Если гипотеза II также является сложной, то и задача становится сложнее. Пусть, например, согласно гипотезе К, случайные величины х1г. . ., хп предполагаются независимыми и одинаково нормально распределенными с нулевым средним зна-

1 Это доказательство приводится в книге Крамера Г., Математи ческие методы статистики, ИЛ, М., 1948, стр. 581. — Прим. перев.
§ 60. Сложные гипотезы

317

чением и произвольным (незаданным) квадратичным отклонением сг. Если гипотеза Н верна, то совместная плотность вероятности для xlt . . ., хп задается формулой

— —-----(Xе 4- I . I 4- X* ) *

f(x\cr) = (2ncr) 2 е 2"* * • (2)

Пусть V — критическая область. Если наблюденная точка

X принадлежит F, то гипотезу II следует отвергнуть. При этом вероятность ошибки первого рода

Р(К1°") = | /(* I(Г) dV> (3)

V

вообще говоря, зависит от сг. Если P(F | сг) р для всех о-> О, то говорят, что уровень значимости критерия или области V не превосходит р. Если же для всех а-

p(F ] о-) = р,

то говорят, что критерий (или область V) имеет уровень значимости, в точности равный р. В этом случае Нейман и Пирсон называют F областью, подобной пространству выборокг.

Нейман, Шсффе и Лсманн2 разработали общие методы, позволяющие находить области V с уровнем значимости, в точности равным р. Сущность этих методов мы поясним с помощью только что сформулированного примера. Доказательства можно найти в соответствующей литературе.

Формула плотности вероятности (2) непосредственно показывает, что

Q = х\ + . . . + хгп (4)

является достаточной оценкой для по-2. Плотность распределения случайной величины Q равна

п _______1_

д(и | о-) = С сг~~п и2, е 2 , где С =-------——_ /54

Однопараметрическое семейство функций д(и | сг) образует ограниченно-полную систему, в смысле Леман на и Шеффе; это

1 Пространство выборок Е удовлетворяет равенству РСЕ|сг) = 1 при всех сг. — Прим. перев.

2 См. прежде всего Lehmann and S с h е f f ё, Completenes, Similar Regions and Unbiased Estimation, Sankhya, 10 (I960), 306 и 16 (1956), 219. Там же указана дальнейшая литература.
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed