Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ошибка второго рода возникает тогда, когда не отвергается ложная гипотеза. Если гипотеза Н является ложной, то, вообще говоря, легко может случиться, что наблюденная точка не попадет в область V и, следовательно, гипотеза Я не будет отвергнута. Однако этого нужно, по возможности, избегать. Целью эксперимента является решение вопроса, правильна или ложна гипотеза Н, поэтому критерий должен быть устроен так, чтобы гипотеза Н, по возможности, не отвергалась в том случае, когда она правильна, и чтобы она отвергалась, когда она ложна. Таким образом, следует стремиться к тому, чтобы вероятность оьиибки второго рода была возможно меньше.
Но возникает новая трудность, связанная с тем, что вероятность ошибки второго рода нельзя указать заранее. Эта вероятность зависит от того, какая гипотеза Н' является правильной, вместо ложной гипотезы II.
Сначала мы предположим, что имеется лишь одна альтернативная гипотеза Н'. Мощностью Р' некоторого определенного критерия относительно гипотезы Н.' называют вероятность отвергнуть гипотезу Н, когда верна гипотеза 1Г:
Р' = p'V = P(V\IP).
§ 59. Общие принципы. Наиболее мощные критерии
309
Если гипотеза Н' является правильной, то вероятность не отвергнуть Н (т. е. вероятность сшибки второго рода) будет равна 1 — Р’.
Эта вероятность должна быть возможно меньшей, следовательно, мощность Р' нужно сделать возможно большей. Если среди всех критериев, удовлетворяющих условию pF ft, данный критерий имеет наибольшую мощность Р', то он называется наиболее мощным критерием относительно, альтернативной гипотезы II'.
Возникает следующая задача. Пусть заданы две функции множеств р.В=р(.В|Я) и В = \>(В\Н'), удовлетворяющие аксиомам теории вероятностей и определенные па всех измеримых множествах из пространства Е. Требуется найти такую область V, для которой P'F будет наибольшей при условии, что
?V (1)
Решения этой задачи в непрерывном и дискретном случаях требуют отдельного изложения.
Б. СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть Е — пространство непрерывно меняющихся переменных хп или часть этого пространства. Предположим,
что обе функции множеств Р и Р' определяются непрерывными плотностями
f(X) = /(ж,,. . ., хп) и д(Х) = д(х,-, хп).
Если в некоторой части Т пространства Е функция / равна нулю, то мы можем, не нарушая условия (1), объединить Т с V. От такого увеличения области V мощность P'F может лишь увеличиться. Следовательно, мы можем рассматривать лишь дополнение множества Т, равное разности Е — Т.
На множестве Е — Т функция / не равна нулю, поэтому
и = U(X) = ?. (2)
является непрерывной функцией от X. При любом положительном v событию U < v в поле р соответствует определенная вероятность
G(v) = p(U <v) = Р(д <vf). (3)
Мы предположим сначала, что 1 —j3 принадлежит множеству значений функции распределения G(v), т. е. найдется такое положительное v, что
Р (д <vf) = \—p,
следовательно,
p(grs= г>/) =/3. (4)
310 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
В таком случае область V, определяемая неравенством
д» vf ил и j э= V.
является решением нашей экстремальной задачи.
Действительно, эта область, в силу (4), удовлетворяет условию (1). Если W — любая другая область, также удовлетворяющая условию (1), то можно показать, что Р' W р' V.
Пусть D — пересечение областей V и W (рис. 29) и пусть
V = D + A, W — D + В.
Таким образом, А представляет собой ту часть области V, которая не пересекается с W, а В — часть области W, которая не пересекается с V. Так как
PV = р D + Р А= /3 и р W = Р D + Р В^р,
то
Р Л э= рВ,
или, что то же самое,
J / dX s» J / dX. (5)
А В
Но А принадлежит V, поэтому для всех точек X множества А справедливо неравенство д vf. Следовательно,
Р' V = Р' D Ч- Р'.4 = p'D +J gdX ^ P'D + f vfdX.
A A
§ 59. Общие принципы. Наиболее мощные критерии
311
Отсюда, в силу (5)., получаем
P'Vs*P'D + ^ vfdX. в
Так как В не пересекается с V, то для всех точек X множества В справедливо неравенство д < vf, поэтому
Р' V г* p'D + \gdX = Р' D + Р'-В = P’W. в
Таким образом, область V является решением нашей экстремальной задачи.
Если функция 1 —G(t) не принимает значения р (т. е. 1 —
— G(t) совершает скачок от значения < р к значению > р), то
V строится следующим образом: сначала берут всю область д> vf и затем добавляют к ней такую часть множества д = vf, чтобы общая вероятность pF равнялась р. В остальном эта часть может быть выбрана произвольно. Доказательство останется тем же самым. Этот случай едва ли встречается в приложениях, и в дальнейшем мы его рассматривать не будем.
