Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Варден Б.Л. -> "Математическая статистика" -> 131

Математическая статистика - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Математическая статистика — М.: Ил, 1960. — 435 c.
Скачать (прямая ссылка): matematstatistika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 178 >> Следующая


В силу условия (9), (истинная) медиана равна нулю (§ 17).

Поэтому критерий знаков можно использовать для проверки

гипотезы о тем, что распределение имеет нулевую медиану.

Если нужно проверить гипотезу, согласно которой медиана равна ?, то можно в качестве ноеых случайных величин ввести 2г — ? и затем воспользоваться критерием знаков. В силу одностороннего критерия, предположительное значение медианы ? следует отвергнуть, если выборка (ги . . ., zn) содержит более, чем т, положительных разностей zt— ?.

Это же правило можно сформулировать еще и по-другому. Пусть z1,...,zn расположены в порядке их возрастания:

=s . . . z(n\ Случайные величины z^ представляют собой порядковые статистики (§ 17). Рассмотрим порядковую статистику с номером п—т (т. е. рассмотрим z(n-m)). Если ? < то

количество положительных разностей z(i) — ? будет больше т, следовательно, все предполагаемые значения медианы ?, удовлетворяющие неравенству ? < z(n-m>, должны быть отвергнуты. Согласно двустороннему критерию, следует также отвергнуть Есе предполагаемые значения медианы ? > ztm + 1\ Таким образом, 2(n-m) и 2(m + i) являются двусторонними доверительными границами для медианы ?. Соответствующий доверительный интервал имеет вид

j-(n-m) -с ? -с 2(m+l). (10)

Заключение (10) справедливо с вероятностью 1 —2/5. Как легко убедиться, полученный результат сохраняет силу также и для распределений, не являющихся непрерывными.

§ 62. Задача двух выборок

А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть результатами наблюдений являются п = g + А независимых случайных величин:

*1. ¦ ¦ хе\ Уи ¦ ¦ ¦, Уь> и пусть все xt наблюдаются в одинаковых экспериментальных условиях, т. е. можно предположить, что все они имеют одинако-
326

Гл. XI1. Порядковые критерии

вые функции распределения. Такое же предположение мы будем делать и относительно у. Допустим, что наблюдается некоторое различие эмпирических распределений хну\ например, все х могут оказаться больше, чем у, или область рассеяния х может быть шире области рассеяния у. Спрашивается, является ли различие эмпирических распределений следствием различия истинных распределений или же оно чисго случайное?

Нулевая гипотеза Н0, подлежащая проверке, утверждает, что все х и у имеют одинаковые функции распределения и, значит, наблюдаемое различие эмпирических распределений является чисто случайным. Однако при этом мы не должны делать никаких специальных предположений о функции распределения х и у.

Два критерия, о которых мы уже говорили раньше, а именно критерий Стьюдента и критерий отношения дисперсий, основаны на предположении нормальности распределений х и у, поэтому указанные критерии с самого начала нужно исключить из рассмотрения. И хотя оба критерия, с определенной степенью приближения, применимы к распределениям, отличным от нормального, однако в данном случае они оказываются непригодными, так как наша задача заключается в отыскании точных критериев, использующих лишь порядковые соотношения х<у и х>у. Будет показано, что при некоторых условиях эти порядковые критерии являются даже более мощными, чем критерий Стьюдента, т. е. что существуют случаи, когда указанные критерии приводят к правильному решению, а критерий Стьюдента — нет (иными словами, критерий Стьюдента в этих случаях ложную гипотезу Н0 не отвергает).

Согласно гипотезе Н0, все х{ и ук распределены одинаково. Предположим, что их функция распределения F(t) является непрерывной. Отсюда следует, что такие события, как ж,- = Xj или

xi — Ук> все имеют вероятность, равную нулю.

На практике это предположение непрерывности, строго говоря, никогда не выполняется, так как все результаты измерений являются округленными числами. В приложениях довольно часто оказывается, например, что некоторые х, и ук равны друг другу. Наличие таких «связей» влечет за собой небольшие затруднения в применении порядковых критериев. Способы преодоления этих затруднений мы изложим позднее.

Преобразование

V = F(t)

переводит xt и^в новые случайные величины х[ и у'к, подчиняющиеся «прямоугольному» распределению с функцией распределения
§ 62. Задача двух выборок

327

Упорядоченность величин х' и у' остается той же самой, что и для величин хну. Следовательно, для порядковых критериев совершенно безразлично, оперируем ли мы с х и у или с ж' и у'. Поэтому во всех тех случаях, когда это облегчает вычисление вероятностей, мы можем предположить, что хну подчиняются прямоугольному распределению. При желании мы можем взять за основу и любое другое непрерывное распределение, например нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

Согласно гипотезе П0, все перестановки n = g + h случайных величин х1г. . ., xg, ylt . . ., yh равновероятны. Таких перестановок имеется п\, следовательно, каждой из них соответствует вероятность 1/и!.
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed