Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 156
81
144
144
256
гипотез с
x' X ’ <t
a --- mv
328 361 2 256 66
344 363 2 450 38
328 351,5 1 444 47
319 344 930 50
319 344 930 50
293 331 306 76
350 356,5 1 849 13
325 341 756 32
300 328,5 225 57
331 343,5 900 25
347 350 1 332 6
297 323,5 100 53
325 336 506 22
313 328,5 225 31
319 327 182 16
319 325 132 12
269 298,5 225 59
300 312,5 1 25
300 311 6 22
313 316 6 6
306 312,5 1 13
303 311 6 16
303 309,5 16 13
272 292,5 441 41
234 273,5 1 600 79
300 304,5 81 9
294 301,5 144 15
300 303 110 6
287 292 462 10
253 275 1 482 44
281 287,5 676 13
253 270 1 892 34
272 276,5 1 369 9
269 275 1 482 12
263 269 1 980 12
234 242 5 112 16
.10 763 j 11 287 I 31611 1 1048 1
§ 59. Общие принципы. Наиболее мсщные критерии
307
Следовательно, различие между классами значительно больше, чем внутри классов. 1%-ная граница для F равна 2^21. Таким образом, нет оснований утверждать, что колебания длин вызываются различием размеров обеих пересаженных половин.
Н. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Метод дисперсионного анализа применим и к более сложным случаям. Например, может оказаться, что пг наблюденных величин xlk разбиваются на классы не только по строкам, но и по столбцам, и при этом требуется узнать, сколь существенно различие не только между строками, но также и между столбцами. Однако для того, чтобы в подобных случаях можно было применить критерий F, нужно сделать дополнительные предположения о распределении xik. Так, например, в нашем случае нужно предположить, что случайные величины xik представимы в виде сумм
Xik — al + Ък + zik>
где zik — независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым средним значением и одинаковыми дисперсиями.
Дальнейшее изложение намеченных здесь основных идей можно найти в соответствующей литературе, например, Fisher R. A., The Design of Experiments (Oliver and Boyd, 1935) или Kempthorne 0., The Design and Analysis of Experiments (John Wiley and Sons, 1952).
§ 59. Общие принципы. Наиболее мощные критерии
А. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
С общей точки зрения вопросы проверки статистических гипотез были рассмотрены Нейманом и Е. Пирсоном1. В этом параграфе мы постараемся изложить основные идеи их исследования.
Возможные результаты эксперимента можно изобразить в виде точек X некоторого пространства Е. При этом безразлично, заполняют ли возможные точки все пространство или они могут попадать лишь в отдельные точки, принадлежащие Е (например, в целочисленные точки). Эксперимент используется для проверки некоторой гипотезы Н.
Пусть рВ = р(В\Н) — вероятность, соответствующая произвольней измеримой области В из пространства Е, вычисленная в предположении, что гипотеза Ы верна. Эту вероятность можно
1 В первую очередь см. Neyman J. and Pearson Е. S., Phil. Trans. Roy. Soc. London, A 231 (1932), 332.
20*
308 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
получить суммированием вероятностей, соответствующих отдельным точкам из В или интегрированием плотности вероятносш по области В.
Основой всех критериев является принцип, согласно которому гипотезу IIотвергают тогда, когда наблюденная точка принадлежит некоторой определенной критической области V.
Область V выбирается таким образом, чтобы вероятность р(7|Я) была мала. Иными словами, должно выполняться неравенство
Р (V\H)*p,
где — заданная допустимая вероятность ошибки (например, €,05 или 0,01).
Спрашивается, чем же нужно руководствоваться при выборе области V? Ведь по заданной вероятности J3 область V определяется неоднозначно! Для ответа на этот вопрос введем понятия ошибок первого и второго рода.
Ошибка первого рода возникает тогда, когда отвергается правильная гипотеза. Как уже сказано, вероятность ошибки первого рода не превышает Если бы принималась во внимание лишь ошибка первого рода, то выбор V был бы в значительной степени произвольным. Может даже возникнуть мысль, что в качестве V удобно выбрать пустое множество: ведь в этом случае вероятность ошибки первого рода была бы равна нулю! Почему же так не поступают? Да потому, что имеется возможность совершить ошибку второго рода.
