Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
limS^)2' = 1 -3 -5. . . (2r- 1). (11)
Согласно «второй предельной теореме» (§ 24 Е), отсюда следует, что случайная величина м/сг при g—* оо и Л —» оо распределена асимптотически нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией, или
Если g и h стремятся к бесконечности, то U распределена асимптотически нормально со средним значением gh/2 и дисперсией сг2.
Метод моментов, примененный здесь для доказательства асимптотической нормальности, можно использовать и во многих других случаях; например, с псмсщью этого метсда можно доказать асимптотическую нормальность случайной величины U даже тогда, когда распределения х и у различны1.
Г. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ U ПРИ Л —> =»
Если к бесконечности стремится только Л, а достается постоянным, то для отыскания асимптотического распределения U нужно применить другой метод. Основная идея этого метода станет особенно ясной, если мы сначала предположим, что g = 2.
Пусть Хи х2 и ух,. . ., yh — независимые случайные величины и пусть F(t) = t (0 f=s 1) — их общая функция распределения, т. е. все xt и ук распределены одинаково равномерно в интервале (0,1). Далее, пусть их и щ — количества инверсий для хх и xt соответственно. Общее количество инверсий равно U = их-\-щ.
1 См. Lehmann Е. L., Consistency and unbiasedness of nonpara-metric tests, Ann, of Math. Stat. 22, 167, Theorem 3.2 (здесь же указана литература), а также Hoeffding W., A combinatorial central limit theorem, Ann. of Math. Stat., 22, 558.
§ 63. Критерий Вилкоксона
333
Сначала мы зафиксируем хг и х2. Если хг — постоянная вели-чина, то вероятнссть события у < хг равна ^(*1) = х1. Частота этого события задается отношением
02)
так как из h величин ух, . . ., yh ровно щ оказались меньше хх. Если h велико, то частота события, с большей вероятностью, близка к вероятности этого события, следовательно, частота vx приближенно равна хх.
По той же самой причине частота v2 близка к х2. Следовательно, отношение
• Ui “j- U] XJ /1 о\
«1 + ”2 =-Lx~ =-ft (13)
с большой вероятностью близко к хг + х2.
Задача заключается в вычислении функции распределения случайней величины U, т. е. в вычислении вероятности события U < и. Вместо неравенства U < и можно также записать
+ »*=?-<? = <. (И)
Таким образом, мы должны вычислить вероятность события Vi + v2 < t.
Так как случайная величина vx + v2, с большой вероятностью, близка к -j- х2, то мы сначала вычислим вероятность события
xi + х2 < t. Случайные величины хг и х2 независимы и распределены одинаково равномерно в интервале (0,1), поэтому совместная плотность вероятности для пары (xv х2) внутри квадрата 0 < хг < 1, 0 < х2 < 1 равна единице. Таким образом, вероятность события хх + х2 < t равна площади области Gt, опреде-
ляемой неравенствами
0 < < 1, 0 < х2 < 1, хг + х2 < t.
334
Гл. XII. Порядковые критерии
Область Gt изображена на рис. 30. Она представляет собой часть единичного квадрата, лежащую под прямой с уравнением Ту А- хг = t. Площадь области Gt равна
График функции H(t) изображен на рис. 31. В интервале от 0
до 2 этот график состоит из двух дуг квадратных парабол. График соответствующей плотности вероятности указан в § 25, рис. 16.
Точно так же в случае g — 3 вероятность события +
+ х3 < t оказывается равной объему той части пространства, которая возникает в результате пересечения единичного куба плоскостью с уравнением хг + х2 + = t (рис. 32).
Вычисления показывают, что
График функции H(t) изображен на рис, 33, а график соответствующей плотности вероятности указан в § 25, рис. 17.
Уже в случае g = 2 и 3 графики функций (15) и (16) похожи на кривые нормального распределения. При g — 4 график функции
//(/) =
/)2, если 1 «s t если t г» 2.
есл и t *s 0.
есл и 0 =а t =s 1,
(15)
s
Р н с. 32.
Р и с. 33.
если t 0,
если 0 «в t ¦=?
//«)=
1 -1(3-о*
1 )3, если 1 «в t «в 2,
если 2<N3,
(16)
1,
если t 3.
§ 63. Критерий Вилкоксона
33 5
H(t) почти совпадает с нормальной кривой; с увеличением д согласие станет еще лучшим.
Для перехода от хЛ + х2 к vx + v2 нам потребуется следующая лемма:
При любом целом положительном д и при любом е > 0 функция H(t) удовлетворяет условию