Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
H(t + е) — Я(*)«ее. (17)
Доказательство. Левая часть (17) представляет собой ^-кратный интеграл
1 =|... I"dx1. . . dxg. (18)
где интегрирование производится по области, определяемой неравенствами
t =? хх 4- х2 + . . . + xg < t 4- е, (19)
О < X; < 1 (г =1,2,..., д). (20)
Если сперва зафиксировать х1г. . ., xgи произвести интегрирование по xg, то длина интервала интегрирования не будет превышать е, так как неравенства (19) определяют интервал длины е и, вследствие условия (20), этот интервал может лишь уменьшиться. Интегрированием по х1г.. ., в единичном кубе, принадлежащем (д—1)-мерному пространству, убеждаемся, что интеграл (18) не превосходит е. Лемма доказана.
Так как функция распределения H(t) случайной величины
хх 4- х2 известна, то с помощью этой леммы мы можем оценить
функцию распределения vx 4- v2 сверху и снизу.
Пусть задано е > 0. Покажем, что для достаточно больших k вероятность события vx 4- v2 < t отличается от H(t) не более чем на 2е.
Как мы уже знаем, разность 4- ^г) — ivi ~г Щ) ПРИ А оо по вероятности стремится к нулю. Отсюда следует, что для всех достаточно больших Л вероятность события (жх 4- хг) — {vi 4- ^2) > > е будет меньше, чем е. Если vx 4- v2 < t, то либо хг ^ х2 < t е, либо (хг 4- х2) — (vx 4- v2) > е. Таким образом, событие vx 4-4- v2 < t содержится в объединении событий хг х2 < t е и (хх 4- х2) — (dj 4- v2)> е. Отсюда следует, что
P(t’i 4- v2 < i) =s p(xx 4- x2 < t 4- e) 4- e =
= H(t 4- E) + E TI(t) + 2e.
Точно так же находим.
P(^i 4- «2 < t)s* p(xx 4- x2 < t — e) — e =
= H(t — E) — e s* H(t) — 2e.
336
Гл. XII. Порядковые критерии
Следовательно, как и утверждалось, р(г2 + v2 < t) отличается от H(t) не более чем на 2г.
Этот же самый результат можно установить не только в случае g = 2, но и при любом д, а именно
При постоянном д и h -* оо случайная величина U асимптотически распределена, как сумма g независимых случайных величин, распределенных одинаково равномерно в интервале (О, Щ.
Рис. 34. Критерий Вилкоксона. Точная и асимптотическая кривые распределения U.
Следовательно, среднее значение этой суммы, равное gh/2, совпадает с точным средним значением случайной величины U. Дисперсия суммы равна
Г2
в то время как дисперсия U задается формулой
и = \2 gh(g + Л + !)-
При g г» 4 распределение суммы можно достаточно точно аппроксимировать нормальным распределением. Поэтому нормальное приближение, найденное Маннсм и Уитни для больших g и Л, применимо также для умеренных g и больших А, коль скоро g > 3.
Числовые примеры свидетельствуют о том, что h не обязательно должно быть очень большим. Па рис. 34 изображены отрезок
§ 64. Мощность критерия Вилкоксона
337
точной кривой распределения (ломаная линия) при д = h = 10 и отрезок соответствующей кривой нормального распределения. Согласие вполне удовлетворительное, особенно в интервале между 95 и 90%, который наиболее важен для практических приложений. В интервале между 99 и 100% ломаная линия расположена над нормальной кривой, поэтому, в случае уровней значимости /3=г0,01, применение нормального приближения увеличивает надежность критерия.
Изложенные результаты можно сформулировать так: При д > Зи<7 + Лэ> 20 нормальное приближение для критерия Вилкоксона оказывается достаточно точным. Если же значения g и h не удовлетворяют указанным неравенствам, то следует воспользоваться точным распределением.
Д. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ МАЛЫХ <7 И h
В таблице 10, в конце книги, указаны вероятности р(и), соответствующие распределению статистики U критерия Вилкоксона, для всех g и h, удовлетворяющих условию
g*s h*s 10;
р(и) определяется как вероятность события U «и, когда нулевая гипотеза верна. Если в результате эксперимента оказалось, что число инверсий равно и, и если p(u)*sf}, то это означает, что, согласно критерию Вилкоксона с заданным уровнем (5, нулевую гипотезу следует отвергнуть. При двустороннем критерии нужно и заменить на gh — и и применить то же самсе правило. В случае одностороннего критерия истинный уровень значимости не превосходит (5, а в случае двустороннего критерия он не превосходит 2/3.
Таблица 10 была вычислена с помощью таблиц Ван дер Варта, опубликованных Математическим центром в Амстердаме (1952, отчет, стр. 32).
§ 64. Мощность критерия Вилкоксона
Как и в § 60, под мощностью критерия для проверки гипотезы Н0 относительно альтернативной гипотезы W мы понимаем вероятность отвергнуть Н0, когда Н' правильна. В нашем случае, согласно нулевой гипотезе 7/0, все х{ и ук независимы и имеют одинаковые функции распределения F(t). В качестве альтернативы мы воспользуемся теперь гипотезой Н', которая утверждает, что все х, и ук независимы, причем все xt имеют функцию распределения F(t), а все ук имеют функцию распределения G(i), отличную от F(t).