Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 42. Пусть Е — пространство переменных х^, . . хп и пусть, согласно гипотезе Н, случайные величины х^, . . ., хп независимы и одинаково нормально распределены с нулевым средним значением и единичной диспер-
1 Уровень значимости критерия равен вероятности ошибки первого рода, т. е. этот уровень совпадает с вероятностью отвергнуть гипотезу Н, когда она верна. Критерии проверки гипотез иногда также называют критериями значимости. — Прим. перев.
Е
Поэтому
(е 6) р = е.
03 — е) + е = р
Г. ПРИМЕРЫ
314 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
сией. Тогда совместная плотность вероятности будет задаваться формулой
Л 1
— „ — — <1» + « + . . . + *• > f(X) = (2л) 2 е 2
Далее, пусть, согласно конкурирующей гипотезе Н', случайные величины х1, . . ., хп предполагаются независимыми и одинаково нормально распределенными со средним значением а > 0 и единичной дисперсией:
- V - у [(*> - а)* + ... + (х. i- а)»] д(Х) = (2л) 2 е (о > 0).
Отношение правдоподобия равно
0 а Г * - V /Ш’
с/ = — = е
f
U представляет собой монотонно возрастающую функцикг от аргумента
- 1 X'
X = — > X.
п
Таким образом, гипотезу Н следует отвергнуть тогда, когда выборочное среднее х превосходит некоторое критическое значение с. Это критическое значение с определяется так, чтобы, в случае справедливости гипотезы Н, вероятность события х >¦ с равнялась /3. Согласно гипотезе Н, среднее г распределено нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/я. Поэтому
с = ~У( 1-/3), (6)
У и
где 3* — функция, обратная функции нормального распределения Ф. В нашем случае о- = 1, однако формула (6) справедлива при любом о-> 0.
Критерий, полученный в этом примере, замечателен тем, что он не зависит от а, если только а является положительным. Следовательно, односторонний критерий, отвергающий все значения х > с, является равномерно наиболее мощным относительно всех гипотез Н' с а > 0. Если бы мы в качестве конкурирующей гипотезы Н' рассмотрели нормальное распределение с отрицательным а, то нужно бы было отвергнуть все значения х < — с.
Пример 43. Пусть некоторое событие, согласно гипотезе II, имеет вероятность р и пусть, согласно альтернативной гипотезе Н', оно имеет большую вероятность р'. Предположим, что в п независимых опытах это событие осуществилось х раз. При каких х гипотезу Н нужно отвергнуть?
Согласно гипотезе Н, вероятность аг-кратного осуществления события равна
/(*) = (”]?* —Р)п~х-
Согласно гипотезе Н', эта вероятность равна
ff(*) = (”)р'Х 0 —Р')п~х-
§ 60. Сложные гипотезы 315
Отношение правдоподобия задается формулой и = 9 = [РУН — Р'\п~х
/ [р ) 1! — р J
Так как и является возрастающей функцией от х, то мы должны отвергнуть значения х > с. При этом граница с определяется таким образом, чтобы сумма вероятностей, соответствующих отброшенным значениям х, была наибольшей и не превосходила fl:
(с + 1 )рС + 1 Чп~с~1 + ( с ” 2)рС + 2 Зп-с-г + ' • ' + Чп
Левая часть неравенства (7) является возрастающей функцией от р, так как ее производная
(С + *) ( с 4. i)pC Чп~с~1
в интервале 0 < р < 1 всегда положительна. Левая часть (7) при р О равна нулю и при р = 1 равна единице, поэтому существует одно и только одно значение рр, при котором левая часть (7) в точности равна |8. Для р =spp неравенство (7) выполняется, а для р >рр не выполняется. Следовательно, этим критерием можно воспользоваться для проверки тех гипотез Н, для которых р =s pp. Конкурирующей гипотезой Н' в этом случае является р>рр. Если х>су то гипотезы р=ер? отвергаются, а р>рр не отвергаются.
Граница рр в точности совпадает с односторонней доверительной границей для р, по Клопперу и Пирсону (§ 7). Таким образом, ранее изложенная теория доверительных границ подчиняется общим принципам проверки статистических гипотез.
§ 60. Сложные гипотезы
Простой гипотезой называется такая гипотеза, которая каждому событию из пространства вставит в соответствие определенную вероятность. Если же вероятности зависят, кроме того, еще и от параметров, то мы имеем дело со сложной гипотезой. Сложная гипотеза состоит из простых гипотез, отвечающих фиксированным значениям параметров. Определение можно сформулировать и так: сложная гипотеза есть множество простых гипотез.
