Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Предположим, что гипотеза (1) является правильной. Пусть N — общее число наблюдений (N э» п) и пусть рп — вероятность того, что п разностей будут отличными от нуля. Сумма Есех рп, разумеется, равна единице:
2Рп = 1- (4)
о
Если количество отличных от нуля разностей равно п, то условная вероятность события & > та (та — граница, соответствующая числу п) не превышает /3. Обозначим эту условную вероятность Рп. Тогда
Рп^Р- (5)
Безусловная вероятность отвергнуть гипотезу II, в силу формулы полной вероятности, удовлетворяет неравенству
р = 2рпРп^2рпР =Р- (б)
Теорема доказана.
Пример 44. В опытах Фрица-Ниггли2 яйца мухи-дрозофилы подвергались воздействию мягкого и жесткого излучения (18 • 141 и 31 • 106
электрон-вольт). Из частот смертности в различных группах яии, подвер-
1 Н е ш с 1 г у k J., A theorem on the sign test when ties are present, Proc. Kon. Ned. Akad. section of sciences, A 55, 322.
2 Fritx-Niggli II., Vergleichende Analyse der Strahlenschadigung
von Drosophila-Eiern, Fortschr. auf dem Geb. d. Eontgenstrahlen, 83 (1956),
178.
21*
324 Гл. XII. Порядковые критерии
гавшихся воздействию одинаковых доз излучения, были сначала составлены средние. Затем, во всех случаях, вычислялись разности средних d для мягкого и жесткого излучений. К разностям d применялся критерий Стьюдента. При этом d имели следующие знаки (для яиц различного возраста) Возраст яиц (в часах):
1 -г + -г + — + + — (8 случаев)
l3/i + + Ч- — — — + (7 случаев)
3 + + + + + (5 случаев)
4 + + + + + (5 случаев)
5i/2+ + (2 случая)
7 + -f- + -j- (4 случая).
В возрастных группах от 1 до 3 час. критерий Стьюдента обнаружил превышение 5%-ной границы лишь в одном-единственном случае (а именно, у яиц возраста 13/4 часа); случаев же превышения 1%-ной границы вообще не оказалось. Напротив, в возрастных группах от 4 до 7 час. этот критерий в 7 случаях из 11 выявил превышение 5%-ной границы и в 5 случаях — превышение 1%-ной границы. Следовательно, практически можно считать установленным (по крайней мере для яиц старшего возраста), что при равных дозах мягкое излучение имеет более сильные летальные свойства, чем жесткое излучение.
Применение критерия Стьюдента было связано с большим количеством вычислений и, кроме того, потребовало предположения нормальности распределения. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли сделать вывод о свойствах излучения с помощью одних только знаков + и —?
Если мы объединим возрастные группы от 4 до 7 час., то в 11 случаях из 11 будем иметь зна к +. В качестве дву сторон н их 1 %-ных границ табл. 9 указывает 1 и 10. Так как 11 находится вне этих границ, то с большой уверенностью можно утверждать, что летальные свойства мягкого излучения более эффективны, чем жесткого. Вероятность ошибочности этого вывода не превышает 0,01.
В возрастных группах от 1 до 3 час. знак + наблюдался в 15 случаях из 20. Двусторонние 5%-ные границы равны б и 14. Так как 15 находится вне этих границ, то эффективность мягкого излучения можно также считать установленной, степень уверенности здесь, конечно, меньше, чем в предыдущем случае.
Таким образом, критерий знаков позволяет установить почти без вычислений, что мягкие лучи на яйца старшего поколения действуют, практически достоверно, сильнее, а на яйца младшего возраста, вероятно, сильнее, чем жесткие лучи.
В. СИММЕТРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Распределение случайной величины z называется симметричным относительно нуля, если при всех и имеет место равенства
р(з > и) = p(z < — и). (7)
Если распределение задается плотностью вероятности д(и), то равенство (7) означает, что д(и) является четной функцией
д(и) = д{ — и). (8)
§ 62. Задача двух выборок 325
В частности, из (7) следует (1). Таким образом, для проверки симметрии распределения можно воспользоваться критерием знаков. Другие критерии симметрии изложены в работе: Hemelryk J., A family of parameterfree tests for symmetry, Proc. Kon. Ned. Akad. (section of sciences), 53, 945, 1186.
Г. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ МЕДИАНЫ
Если рассматривать лишь непрерывные функции распределения F(u), то (1) будет эквивалентно равенству
Р(2 < 0) = Р(2 > 0) = 2- • (9)