Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
318 Г л. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
означает, что если ограниченная интегрируемая функция tp(t) удовлетворяет интегральному уравнению
то <p(t) = 0. Эта полнота становится тотчас же ясной, если, отбросив множитель С(г~п, записать интегральное уравнение (6) так:
Леманн и Шеффе доказали, что в том случае, когда плотности вероятности образуют ограниченно-полную систему, все области V, имеющие уровень значимости, в точности равны §, можно найти по методу Неймана. Согласно этому методу, для каждого отдельного значения и достаточной статистики Q ищут такую область Vu, для которой условная вероятность, вычисленная при условии Q = и, принимает значение (3. Если объединение V всех областей Va измеримо, то оно имеет уро-вень значимости, в точности равный р.
В нашем случае Va представляет собой область на сфере
Условная плотность распределения случайных величин хх, на этой сфере задается отношением
причем интегрирование в знаменателе производится по сфере (8). Область Va на этой сфере нужно выбрать таким образом, чтобы интеграл от функции (9) по Vu в точности равнялся уЗ. Так как функция f(x | сг) на всей сфере равна некоторой постоянной величине, то в числителе и знаменателе (9) множители /(х | сг) сократятся и интеграл будет просто равен отношению площади V„ к площади всей сферы. Таким образом, площадь Vu должна быть равна площади сферы, умноженной на уЗ. В остальном области Vu можно выбирать произвольно (лишь бы они были не слишком дикими, с тем чтобы их объединение V оставалось измеримым).
Выбор областей Vu для построения наилучшего критерия в значительной мере зависит от рассматриваемых альтернативных гипотез И'. В данном случае в качестве альтернативы Н' мы примем сложную гипотезу, согласно которой xv — независи-
I” ф(и) д(и | сг) du = 0 при всех сг > 0,
(6)
о
при всех Л > 0.
(7)
о
х\ -f . . . -f = и.
(8)
/(д 1 O')
(9)
§ 60. Сложные гипотезы
319
мые, одинаково нормально распределенные случайные величины с положительным средним значением а и произвольным квадратичным отклонением о-. Соответствующая плотность вероятности задается формулой
" 2 К*1 - а>’ +••• + <*» - а)’]
/в(® |о-) = (2зго-) е . (Ю)
Определение наиболее мощного критерия, соответствующего этой альтернативной гипотезе Н', не представляет труда. Сначала зафиксируем значение о- и определим область Vu таким образом, чтобы соответствующий критерий был наиболее мощным относительно отдельной гипотезы Н„. Так как интеграл от функции (9) не зависит от о-, то можно считать, что в (9) и (10) величины о-одинаковы. Тогда метод, изложенный в § 59, сам собой приведет нас к критерию отношения правдоподобия1
(11)
/в(* I °-) '
т. е., в нашем случае,
я . па*
- i J-T
е э» V.
Таким образом, гипотезу Н следует отвергнуть, коль скоро выборочное среднее
* = \ (*1 + • • • + хп)
превышает некоторое критическое значение w. Величина w выбирается таким образом, чтобы плоскость с уравнением х = w разбивала сферу (8) на двг части и чтобы площадь той части, где х > w, равнялась площади всей сферы, умноженной на Полученный критерий в точности совпадает с односторонним критерием t.
Таким образом, среди всех критериев, имеющих уровень значимости, в точности равный односторонний критерий t
1 Так как мы хотим найти область Vu, расположенную на сфере (8), то мы должны воспользоваться условными плотностями (9) и
/а(* I о-) [J /0(х | <г) dan_x
где интегрирование производится по сфере (8). Так как интегралы в знаменателях условных плотностей зависят лишь от сг, то отношение правдоподобия можно записать в виде (11), где, вообще говоря, v = v(cr). Если гипотеза Н верна, то Q — достаточная статистика, поэтому условное распределение х, при условии Q = и, не зависит от сг. — Прим. перев.
320 Гл. XI. Проверка гипотез с помощью статистических критериев
является равномерно наиболее мощным1 относительно всех альтернатив й1 с а> 0.
Пусть хъ . . ., хт и уъ . . .,уп — независимые, нормально распределенные случайные величины с одинаковыми неизвестными дисперсиями и пусть Qxt =-...= gxm = fj, и & уг = . . . = = S Уп = v- Тем же самым методом можно доказать, что среди всех критериев с точным уровнем значимости ft, предназначенных для проверки гипотезы ju, = v, односторонний критерий t является равномерно наиболее мощным относительно всех альтернатив 1Г с fju> v.
Естественно поставить вопрос, не является ли критерий Стьюдента равномерно наиболее мощным также и среди всех критериев с уровнем значимости, не превосходящим уЗ? К сожалению, ответ на этот вопрос получается отрицательным2.