Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
изведение Хфп (или соответственно Уфп или Zфn), где X = evxv
о
— слагающая электрического момента системы в направлении ж, по ортогональной системе собственных функций и определим в этом разложении коэффициенты Хп<п при фп>:
Хп'п — (Фп1 5 Хфп) .
Тогда выражение
I Y 12 4^3
Шс3
дает искомую вероятность (отнесенную к единице времени), которой, естественно, пропорциональна интенсивность излученного света. Точно так же интенсивность света, поглощенного при переходе Ef —у Е, пропорциональна |ХП/П|2. В случае вырождения |ХП/П|2 заменяется суммой квадратов ^ \Хп'п\2 по всем пип', для которых Еп — Е и Еп> = Е1.
Из правила интенсивностей вытекает правило отбора: когда Хп<п —
— Yn/n = Zn>n — 0 для всех Еп — Е и Еп> = Е1, то переход Е —у Ef практически не происходит — соответствующая спектральная линия отсутствует.
Электрический момент атома X может быть отнесен к его центру тяжести. Движением ядра по сравнению с движением электронов мы пренебрегаем, так как его расстояние от центра тяжести по порядку величины в jjb/M раз меньше. Поэтому можно положить
Обоснование этих правил с помощью теории световых квантов см.: П. А. М. Дирак. Основы квантовой механики, 1932.
§ 4- Электрон в поле с центральной симметрией 23
§ 4. Электрон в поле с центральной симметрией
Если в уравнении Шредингера для одного электрона
-f^AV’ - eV-ф = Еф (4.1)
потенциал V является функцией только от расстояния г (атом водорода, ион гелия), то, как известно, переменные разделяются при введении полярных координат г, $, (р. Полагая
А = 2 + Р о--1" ^ ^ a JVq трт Н------. \ а ~Я~2 ’ (^*2)
от"5 г от г2 sin $ д'д д'д sin2 $ dip
мы получаем собственные функции в форме произведения:
Ф = №Щ#,<р), (4.3)
A Yi = XYh (4.4)
-i{^ + ^ + ^)f-eVf = Ef- <4-5>
Yi — шаровые функции порядка /, которые проще всего определить как потенциальные функции I-той степени Щ (т. е. как однородные полиномы от ж, 2/, z степени /, удовлетворяющие уравнению потенциала AUi = 0), деленные на г1:
и, = r% AU{ = 0.
Собственные значения Л в (4.4), в силу условия A Ui = 0, имеют вид
Л = -/(/ + 1). (4.6)
Шаровые функции Y\ слагаются из 21 + 1 линейно-независимых функций вида
уМ = eimVyjm) ^ ^ т ^ ^ 1
1 Доказательство. Положим, что потенциальная функция Ui имеет вид Ul = сР^х + 1у)Р(х - iy)qzl~p~q,
тогда уравнение потенциала A Ui = 0 дает рекуррентную формулу для коэффициентов
2(р + 1 ){q + l)cp+i,g+i + (г-р-?)(г-р-5 - l)cpg = 0.
24
Глава I
Так как по (4.4) они являются собственными функциями самосопряженного оператора Л, то по § 2 две шаровые функции различных порядков взаимно-ортогональны
J YtYv dv = 0 при /' ф I.
Точно так же взаимно-ортогональны две шаровые функции при
различных значениях т
j ) (jv — о ПрИ ш' ф
так как множитель — ег(т'-т)<р ПрИ интегрировании по (р
от нуля до 27г дает нуль.
Шаровые функции образуют на сфере замкнутую ортогональ-
ную систему: каждая непрерывная функция на сфере может быть равномерно апроксимирована суммой шаровых функций с любой степенью точности.
Доказательство.
Так как каждая непрерывная на сфере функция может быть непрерывно продолжена во внутрь сферы, а каждая непрерывная функция в ограниченном пространстве, как известно, апроксимируется с любой степенью точности полиномом от x,y,z, то достаточно показать, что каждый полином на сфере равен сумме шаровых функций. Каждый полином является суммой однородных полиномов (форм) различных степеней. Мы считаем, что каждая форма n-ой степени F может быть выражена через потенциальные формы Ui следующим образом:
F = Un + r2Un-2 + г4{7„_4 + • • • + r2hUn-2h- (4.7)
Для форм нулевого и первого порядка это утверждение очевидно, так как они сами всегда являются потенциальными формами. Считая, что наше утверждение правильно для всех полиномов степени < п, мы поступаем с полиномом F степени п следующим образом: сначала представляем полином (п — 2)-ой степени AF так:
AF = U:_2+r2U:_4 + r4U*n_6 + --- , (4.8)
Обозначим через uj-171^ ту часть выражения Ui, члены которой обладают постоянной разностью р — q = m; рекуррентная формула определяет коэффициенты uj-171^ с точностью до общего множителя, так что Ui = и uj-171^ = rleirnipyjrri\,d).
