Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(Ai — A2)('01,'02) = О,
(^1,^2) = о.
¦
Особенно важны операторы, коммутирующие с оператором энергии. Для них имеет место следующий закон сохранения, содержащий, как частные случаи, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Если оператор И коммутирует с оператором энергии Н. то как собственные, так и средние значения П остаются постоянными во времени, когда состояние Ф изменяется по (1.1).
Доказательство.
a) Постоянство собственных значений. В момент t — 0 имеем ПФ = АФ. Составляя производную по времени от функции F — (П — А)Ф, имеем
4^ = 4(П - Л)^ = -(П - А)ЯФ = -Н(П - А)Ф = -HF.
г ot г at
Это дифференциальное уравнение и начальное значение F = 0 при t — 0 целиком определяет функцию F. Следовательно, F — 0 для всех ?, т. е. функция Ф остается все время собственной функцией П для собственного значения А.
b) Постоянство средних значений
7 Iй = 1 = 7 (w•ns) + 7 (*'nf) =
= Bf •“) + (*•“??) =
= (ЯФ,ПФ) - (Ф,ПЯФ) =
= (Ф,ЯПФ) - (Ф,ЯПФ) = 0.
§ 2. Линейные операторы. Ортогональные системы
15
Другим важным свойством коммутирующих с Н операторов П является то, что они всегда преобразуют функцию ф определенного энергетического уровня Е опять в ту же самую функцию; как легко видеть, из Нф = Еф следует НО,ф = Е?1ф.
Для квантово-механической задачи собственных значений энергии
Нф = Еф (2.2)
имеют место следующие законы (с ограничением для конечной части объема), строгое доказательство которых, насколько мне известно, дано еще не во всех случаях.
I. Собственные значения образуют непрерывно возрастающую бесконечную последовательность
Ei, Е2, Ез, ... .
II. Каждому собственному значению соответствует только конечное число линейно независимых собственных функций, из линейных комбинаций которых с комплексными коэффициентами образуются все другие функции. Если их число к > 1, то говорят о к-кратном вырождении. Эти к собственных функций всегда можно выбрать так, чтобы они были взаимно-ортогональны. Если это сделать для всех значений энергии и расположить полученные функции по возрастающим собственным значениям, то мы получим систему из бесконечно большого числа взаимноортогональных функций (р2^ ••• •
III. При непрерывном изменении входящих в оператор Н параметров (например, массы или силы внешнего поля и т. п.) собственные значения непрерывно и дифференцируемо зависят от этих параметров.
IV. Собственные функции <^i, (р2, ... образуют замкнутую систему функций. Это значит, что каждая непрерывная функция ф может быть с любой точностью апроксимирована «в среднем» соответ-
п
ственно выбранной суммой ^ т. е., что для любого е можно
1
выбрать cv и п так, чтобы «средняя квадратичная ошибка»
п
(2-3)
1
была меньше, чем г.
16
Глава I
Мы считаем замкнутую ортогональную систему <^2? • • •
нормированной:
N— 1.
п
Для того чтобы при апроксимировании функции ф суммой Е ^v^Pv
1
при заданном п «средняя квадратичная ошибка» (2.3) была наименьшей, надо в качестве «коэффициентов разложения» выбрать
си = (<Ри,ф). (2.4)
Тогда
п п
N(“ф -'YjCvVv) = N(i’) - 'Y^-vCv-1 1
Отсюда сразу получается «неравенство Бесселя»:
п
Y,CvCu^N(i>)
1
и как критерий замкнутости системы функций «условие замкнутости»
00
N(i>) = ^cucv, (2.5)
1
которое должно иметь место для всех непрерывных функций
Коэффициенты разложения cv (2.4) полностью определяют функцию ф; действительно, если ^ и -02 имеют одинаковые коэффициенты разложения, то коэффициенты разложения их разности равны нулю, откуда по (2.5) следует
- ф2) = о, т. е. фг = ф2.
В частности, непрерывная функция ф тождественно равна нулю, если все коэффициенты ее разложения равны нулю, т. е. если она ортогональна ко всем (ри.
00
Ряд ^ cvipv называется разложением ф по замкнутой ортогоналъ-
1
ной системе (ри. Он не обязательно должен сходиться, но это имеет
§ 2. Линейные операторы. Ортогональные системы 17
