Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Предисловие автора
Квантово-механическое описание атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера наталкивается на большие трудности, причиной которых является сложность проблемы. То, что можно, несмотря на это, сказать о собственных функциях и собственных значениях и что подтверждается спектроскопическими закономерностями, обусловлено свойствами симметрии волнового уравнения, а именно его инвариантностью относительно вращения, зеркального отображения и перестановок электронов (или ядер). Математическим способом исследования этих закономерностей является теория групп, в частности, теория представлений конечных и непрерывных групп.
Целью этой книги является возможно более простым способом изложить эти математические понятия и их физическое применение. Я старался пользоваться только простейшими вспомогательными средствами и в математических выкладках исходить из физической целесообразности. В частности, я учел новые работы Дирака, Слетера и других, которые позволили избежать довольно сложной теории представлений и вычисления характеров симметричной группы перестановок. Тот, кто захочет углубиться в теорию представлений симметричных групп и их связь с линейными группами, сможет воспользоваться книгой Вейля (Н. Weyl) «Gruppentheorie und Quantenmechanik», 2 изд., Лейпциг, 1931 г. и оригинальными работами Г. Фробениуса (G. Frobenius), Шура (I. Schur) и Вейля (Н. Weyl).
Основной частью книги, требующей большого внимания читателя, является теория представлений групп вращения в разделе III и основанная на ней теория спина в разделе IV.
Чтобы объяснить появление этой книги после вышедшей в прошлом году идентичной книги Е. Wigner, «Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atome», Berlin, 1931, можно указать на последнюю главу о молекулах и на параграфы о группе Лоренца и релятивистском волновом уравнении (не говоря уже о различной обработке деталей).
В этой книге предполагается, что основы волновой механики и спектроскопии уже известны читателю, теория же групп и теория «вращающегося электрона» изложены в основном наново.
Лейпциг, январь 1932 г.
Б. Л. Ван-дер-Варден
Глава I
Основы квантовой механики
§ 1. Дифференциальное уравнение Шредингера
Волновая механика сводит все вопросы о поведении электрона, атома или системы электронов и атомных ядер к изучению дифференциального уравнения Шредингера, которое в нерелятивистской форме имеет вид
яф + 4^ = о. (l.i)
г dt
Волновая функция Ф представляет собой комплексную функцию от времени и троек прямоугольных координат 9 Qf (или, подробнее, 2/о? го; • • • ? xf')Vf')zf) / + 1 материальных точек системы (электронов и ядер), а Н — оператор энергии, получающийся из классичес-
кого выражения для энергии (функции Гамильтона)
/
T + U~H 2+ Pi + PlJ + (!-2)
h д h д h д при замене компонент импульса ру, pz через -
Ъ С/Х 1 оу 1 (JZ
где /1\ — обозначает массу электрона или ядра,
2ттН — квант действия Планка,
U(q) — потенциальную энергию, как функцию координат q.
Мы считаем, что волновая функция Ф определяет состояние системы в определенный момент времени и что вероятность того, что система в момент t находится в какой-либо области В (/-пространства (конфигурационного пространства), пропорциональна интегралу:
ФФйд,
где Ф — функция, комплексно сопряженная с Ф.
§ 1. Дифференциальное уравнение Шредингера
11
Если Л константа, то Ф и АФ описывают одно и то же состояние. Важнейшими решениями дифференциального уравнения (1.1) являются стоячие волны или «собственные колебания»:
Ф = 4>{q)eiw\
где ф — независящая от времени функция, которая, очевидно, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
Нф = Еф (Е = Пш). (1.3)
Уравнение (1.3) имеет форму линейной задачи собственных значений, в которую входят два неизвестных: собственная функция ф и собственное значение Е. Собственные значения Е оператора энергии представляют собой возможные уровни энергий системы. Согласно спектроскопическим обозначениям, их можно назвать «термами», так как из них можно вычислить по формуле
Е\ — Е‘2 = hv
частоту1 v света, излучаемого при переходе Е\ Е2, или поглощаемого при переходе2 Е% —> Е\.
Физический смысл имеют только такие собственные функции, которые в пространстве q остаются конечными на бесконечности. Если принять, что потенциальная энергия U на бесконечности равна нулю, то существует два типа собственных функций. Первый с Е > 0, который в области U — О можно представить наложением плоских волн; эти волны простираются в бесконечность и их собственные значения образуют непрерывный спектр, охватывающий всю положительную ось Е.