Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
место в большинстве случаев, если только функция ф дифференцируема достаточно число раз. Так как функция ф однозначно определяется рядом, то можно символически писать (даже и в случае расходимости)
00
¦ф (2.6)
1
Для образования скалярных произведений и норм можно с любой точностью заменить функцию ф на так как Для любой функ-
ции <р согласно неравенству Шварца имеем:
п
K^VOI - Е‘wv) | = \(<р,Ф- Ес^^)| ^
1
^ \/N{4>)- Н{ф - Е cvtp„) ^ y/e-N(<p),
отсюда следует
00
= 'Y;CAV,‘Pi') = XI (4>v,V)cv = ^bvCv, (2-7)
1
где bv — коэффициенты разложения функции (р.
С каждым линейным оператором П можно с помощью ортогональной системы (ри связать бесконечную матрицу, с помощью которой Q(pu разлагается по
^ILV^PfL'
Матричные элементы имеют вид
^fiv — •
Если П самосопряженный оператор, то матрица (и;^) «эрмитова»
^ /ли =
Мы хотим теперь вычислить коэффициенты разложения 0,ф, если они заданы для
ф ~'Y^cvyv. (2.8)
Положим
^Ф ~ ^2 dvV"’
18
Глава I
тогда по вышеприведенному правилу (2.7) при самосопряженности Q, имеем
dfi — (фцт^Ф) = (^<Рц'/'Ф) = ^ ^ ШуцСу — ^ ^ ШцуСу
Это значит, что коэффициенты разложения Пф будут теми же, которые можно получить, применив к левой и правой части ряда (2.8) почленно оператор Q, и разложив правую часть функциям (р.
Если оператор Q, коммутирует с оператором энергии iif, собственными функциями которого являются <?д, то все матричные элементы и;^, индексы /х, v которых относятся к собственным функциям (рц,(ри с различными собственными значениями ф Ev, равны нулю. Функции относящиеся к одному и тому же значению энергии Е, преобразуются оператором линейно друг в друга и могут быть определены (как это будет подробно показано в § 7) таким образом, чтобы одновременно являться собственными функциями оператора С1. Следовательно, коммутирующие операторы Q, и Н обладают общей замкнутой системой собственных функций.
Замкнутость системы собственных функций играет большую роль в практическом решении задач собственных значений. Например, в § 5 мы увидим, что «теория возмущений» в основном базируется на замкнутости. Другим применением замкнутости является метод разделения переменных, во многих случаях сильно упрощающий решение задачи собственных значений.
Этот метод основывается на следующем. Предположим, что переменные qi_____,(/s, входящие в функцию ф, могут быть разделены
на две группы (gi,... ,qv) и (qv+i,... ,qs) таким образом, чтобы оператор Н слагался из двух частей Н = Hi + Н2, из которых первая часть зависит только от gi,... , qv, а вторая от <7^+1,... , qs- Тогда собственные функции Н могут быть представлены в виде произведения ip(qi,... , qv) • ф(дТ)+1,... ,(/s), где ip — собственная функция Hi, а ф — собственная функция Н2. То обстоятельство, что таким образом получаются собственные функции iif, явствует из равенств:
Н(рф = (Hi + н2)рф = (Н1(р)ф + ср(Н2ф) =
= Е1(рф + Е2(рф = (Ei + Е2)(рф.
Собственное значение Е равно Ei + Е2. Возникает вопрос, можно ли таким образом получить все собственные функции задачи. Мы отвечаем на этот вопрос положительно в том случае, если известно, что хотя бы ip (или ф) образуют замкнутую ортогональную систему. В самом деле, если х произвольная собственная функция оператора iif, то х можно
§ 3. Волновое уравнение для атома и молекулы
19
разложить как функцию qi,... , qv по собственным функциям <?i, • • •
00
X ,qv)c„(qv+i,... ,?„)• (2.9)
1
Согласно вышеприведенному правилу, можно вычислить Н\х и Н2Х путем следующих формальных операций:
00 оо
Нх = Нгх + Н2Х ~ X + X
1 1
С другой стороны, поскольку % собственная функция iif, должно быть:
НХ = ЕХ~'? Е(Р^Си-
В обоих разложениях Нх коэффициенты должны совпадать
EjyCif Н2С1, — Eci/y
т. е.
H2cv = (Е — Еи)си.
Поэтому cv являются собственными функциями Н2 для собственного значения E'v = Е — Ev. При возрастании v безгранично возрастает Еи, следовательно, Е'и делается в конце концов меньше наименьшего собственного значения Н2. При этом си должно обращаться в нуль. Поэтому в сумме (2.9) имеется только конечное число членов, каждый из которых является собственной функцией iif, а именно произведением (риф Следовательно, эти произведения действительно являются базисом для всех характеристических функций оператора Н.