Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ван-дер Вандер Б.Л. -> "Методы теории групп в квантовой механике" -> 6

Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.

Ван-дер Вандер Б.Л. Методы теории групп в квантовой механике — И.: РХД, 1999. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): metodteoriigrupvkvantovoymehanike1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 85 >> Следующая


место в большинстве случаев, если только функция ф дифференцируема достаточно число раз. Так как функция ф однозначно определяется рядом, то можно символически писать (даже и в случае расходимости)

00

¦ф (2.6)

1

Для образования скалярных произведений и норм можно с любой точностью заменить функцию ф на так как Для любой функ-

ции <р согласно неравенству Шварца имеем:

п

K^VOI - Е‘wv) | = \(<р,Ф- Ес^^)| ^

1

^ \/N{4>)- Н{ф - Е cvtp„) ^ y/e-N(<p),

отсюда следует

00

= 'Y;CAV,‘Pi') = XI (4>v,V)cv = ^bvCv, (2-7)

1

где bv — коэффициенты разложения функции (р.

С каждым линейным оператором П можно с помощью ортогональной системы (ри связать бесконечную матрицу, с помощью которой Q(pu разлагается по

^ILV^PfL'

Матричные элементы имеют вид

^fiv — •

Если П самосопряженный оператор, то матрица (и;^) «эрмитова»

^ /ли =

Мы хотим теперь вычислить коэффициенты разложения 0,ф, если они заданы для

ф ~'Y^cvyv. (2.8)

Положим

^Ф ~ ^2 dvV"’
18

Глава I

тогда по вышеприведенному правилу (2.7) при самосопряженности Q, имеем

dfi — (фцт^Ф) = (^<Рц'/'Ф) = ^ ^ ШуцСу — ^ ^ ШцуСу

Это значит, что коэффициенты разложения Пф будут теми же, которые можно получить, применив к левой и правой части ряда (2.8) почленно оператор Q, и разложив правую часть функциям (р.

Если оператор Q, коммутирует с оператором энергии iif, собственными функциями которого являются <?д, то все матричные элементы и;^, индексы /х, v которых относятся к собственным функциям (рц,(ри с различными собственными значениями ф Ev, равны нулю. Функции относящиеся к одному и тому же значению энергии Е, преобразуются оператором линейно друг в друга и могут быть определены (как это будет подробно показано в § 7) таким образом, чтобы одновременно являться собственными функциями оператора С1. Следовательно, коммутирующие операторы Q, и Н обладают общей замкнутой системой собственных функций.

Замкнутость системы собственных функций играет большую роль в практическом решении задач собственных значений. Например, в § 5 мы увидим, что «теория возмущений» в основном базируется на замкнутости. Другим применением замкнутости является метод разделения переменных, во многих случаях сильно упрощающий решение задачи собственных значений.

Этот метод основывается на следующем. Предположим, что переменные qi_____,(/s, входящие в функцию ф, могут быть разделены

на две группы (gi,... ,qv) и (qv+i,... ,qs) таким образом, чтобы оператор Н слагался из двух частей Н = Hi + Н2, из которых первая часть зависит только от gi,... , qv, а вторая от <7^+1,... , qs- Тогда собственные функции Н могут быть представлены в виде произведения ip(qi,... , qv) • ф(дТ)+1,... ,(/s), где ip — собственная функция Hi, а ф — собственная функция Н2. То обстоятельство, что таким образом получаются собственные функции iif, явствует из равенств:

Н(рф = (Hi + н2)рф = (Н1(р)ф + ср(Н2ф) =

= Е1(рф + Е2(рф = (Ei + Е2)(рф.

Собственное значение Е равно Ei + Е2. Возникает вопрос, можно ли таким образом получить все собственные функции задачи. Мы отвечаем на этот вопрос положительно в том случае, если известно, что хотя бы ip (или ф) образуют замкнутую ортогональную систему. В самом деле, если х произвольная собственная функция оператора iif, то х можно
§ 3. Волновое уравнение для атома и молекулы

19

разложить как функцию qi,... , qv по собственным функциям <?i, • • •

00

X ,qv)c„(qv+i,... ,?„)• (2.9)

1

Согласно вышеприведенному правилу, можно вычислить Н\х и Н2Х путем следующих формальных операций:

00 оо

Нх = Нгх + Н2Х ~ X + X

1 1

С другой стороны, поскольку % собственная функция iif, должно быть:

НХ = ЕХ~'? Е(Р^Си-

В обоих разложениях Нх коэффициенты должны совпадать

EjyCif Н2С1, — Eci/y

т. е.

H2cv = (Е — Еи)си.

Поэтому cv являются собственными функциями Н2 для собственного значения E'v = Е — Ev. При возрастании v безгранично возрастает Еи, следовательно, Е'и делается в конце концов меньше наименьшего собственного значения Н2. При этом си должно обращаться в нуль. Поэтому в сумме (2.9) имеется только конечное число членов, каждый из которых является собственной функцией iif, а именно произведением (риф Следовательно, эти произведения действительно являются базисом для всех характеристических функций оператора Н.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed