Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Другой более общий способ основан на использовании многоимпульсной техники. Операция CNOT была представлена в главе 2 (2.8) в виде квантовой схемы:
А’\а)
CNOT =
,, ,___, 1_^_1 ,__________________, (4.31)
В-\Ь) [not] —ш—
Однако при ее реализации удобнее воспользоваться другой эквивалентной схемой, в которой операторы Адамара Н заменяются прямым и обратным несамообратимыми псевдооператорами Адамара [4.13]
h=^/lj2^\ ЬГ1 = у/Щ(^ (4.32)
которые соответствуют более простым операциям поворота на углы ±7г/2 вокруг оси у: h~x = Yb(—7г/2), h = Yb(iг/2) (см. (4.24)). Квантовая схема для оператора CNOT при этом принимает следующий вид (операции в последовательности слева направо):
Л:|а> -----°----
CNOT = B’\b) —|NOT|— —| % |—ЮО—I til I— (4.33)
188
Глава 4
Рассмотрим теперь один из способов осуществления операции CNOT с помощью импульсной техники ЯМР [4.1]. Для этого, согласно (4.33), следует произвести следующую последовательность операций, действующих на контролирующий А и контролируемый В спины-кубиты (в последовательности справа налево), то есть
CNOT = [1л®Гв(—7г/2)]-П-[Та®Ув(тг/2)] , (4.34)
5 4 1 О
где оператор контролируемого изменения фазы состояния 111) П с учетом (4.16), (4.18) и (4.24) может быть представлен в виде произведения следующих трех коммутирующих матриц поворота [4.1]:
[Za(tt/2) О 1в] • [и ® Яв(тг/2)] • Zab(k/2)
I
3 2 1
= ^ ^ | [(1а + 2Hza) ® 1в] j [lA (1 в + 2z/^JB)j • [l — 4i(IZA ® Лв)] ^ =
4 3 2 1
Л . / 1+г 0 0 0 \ / 1+г 0 0 0 \ /1-г 0 0 0 \ /10004
_ I — г / о 1+г 0 0 \ / 0 1-г 0 0 \ / 0 1+г О О \ _I010 0 1
4 \ 0 0 1-г О J I 0 0 1+г О J I 0 0 1+г 0 j ~ I 0 0 1 О I ?
^ V 0 0 0 1-г/ V 0 0 0 1-г/ V 0 0 0 1-г/ \0 0 0 -l/
(4.35)
где цифрами отмечены последовательные моменты времени, соответствующие границам между отдельными операциями в выражениях (4.33)-(4.35).
Простая векторная модель, поясняющая наглядно действие последовательности пяти указанных операций, представлена на рис. 4.4 [4.1], из которого видно, что переворачивание в конце всего процесса (момент 5) контролируемого спина В происходит, только когда контролирующий спин А находится в состоянии |1) = Ца)- В интервале 1-2 действует двухкубитовый оператор Zab(7г/2), осуществляющий, в соответствии с (4.21), поворот ж-составляющей оператора спина В вокруг оси z на угол —7г/2 при состоянии спина А \ ^А) или на Угол тг/2 при | 1а)- Все остальные операции осуществляются с помощью одноку-битовых операций поворота со спинами А и В.
Оператор CNOT в форме (4.34), (4.35) можно представить в другом более удобном виде. Переставим для этого местами операции в двух квадратных скобках в интервале 2-5 и учтем свойство прямых
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 189
А-\а)
7 (V/91
?в{ж/2)
В:\Ь> .!•••..у
х ' О
ZABW 2)
1
О
|00>- |н>
|10>- |И>
Рис. 4.4. Простая векторная модель CNOT, иллюстрирующая действие пяти импульсов при абсолютном нуле температур [4.1]. Представлены два случая на входе: состояние 100) (жирные векторы) и состояние 110) (векторы с двойной линией). Прецессия вектора спина А во внешнем поле В в этой модели, как и операции Za, не изображается.
произведений (А ® В) • (С ® D) = (А • С) ® (В • D):
[Тд ® Ув(-7г/2) • 1 A®ZB{n/2) ¦ Za( 7r/2)(g>TB
= {bi ® [?в(-тг/2) • Zb(tt/2)] | • [^(тг/2) <8 = Za(tt/2) ® [гв(-тг/2) • Zb(tt/2)] .
(4.36)
В результате операция CNOT теперь будет описывается следующей последовательностью из пяти независимых операций:
CNOT = ZA(w/2) ® [(?в(-тг/2) • ?в(тг/2)] • Zab{k/2) • [Тл ® ?в(тг/2)] .
(4.37)
Операторы поворота Za(7г/2) и Zb(7г/2) в (4.37) могут осуществляться, как уже отмечалось, за счет свободной прецессии спинов А и В во внешнем постоянном магнитном поле при отсутствии радиочастотных импульсов. Но в этом случае эта прецессия должна «включаться» в течение следующих друг за другом со своим началом отсчета промежутков времени порядка четверти периода свободной прецессии 7t/(2uja), к/(2ив), то есть очень коротких по сравнению с длительностью операций Ув(±7г/2) и Zab(7г/2) , которые поряд-
