Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
U(t/2) • (Ха ® Хв(*)) • U(t/2) = (ZA(uAt) ® Хв(тг)). (4.43)
При этом, поскольку Хв(тг)1хв^) = — IXB{t), то действуя на поперечную составляющую спинового оператора 1хв, эта операция приводит только к изменению ее знака. Это изменение знака не играет существенной роли, поскольку к концу интервала и At = Фа = тг/2 оно соответствует простому изменению фазы фв на 7г. Поэтому в качест-
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 193
ве начала отсчета времени действия последующего оператора поворота для спина В вокруг оси z на интервале 3-4 можно снова выбрать t = 0.
Если в конце указанного интервала приложить еще раз рефокусирующий импульс Хв(тг) (или Ха(тг))9 то состояние спина В (или А) возвратится к начальному [4.16, 4.17]. Запишем эту последовательность операций над двумя спинами с помощью операторов поворота Хв(п) = = 2Нхвч используя соотношения (4.17), (4.41)-(4.43):
U(t/2) ¦ (1А ® Хв(7г)) • U(t/2) • (1а ® Хв(п)) = ~(ZA(wAt) ® 1В),
(4.44)
где учтено, что 1хВ • 1хВ = 1/4.
Состояние спина В действительно возвратилось к начальному, а изменение состояния спина А за это время произойдет с точностью до несущественного знака в соответствии с операцией Za^a^)-Этот второй рефокусирующий импульс можно не использовать и поэтому на рис. 4.5 он не показан.
Заметим, что при использовании селективных импульсов отклонение их формы от идеальной и неточность их фазировки приводит к систематическим искажениям конечного состояния, дополнительным к тем, которые обусловлены декогерентизацией состояний за счет неучитываемых выше взаимодействий ядерных спинов между собой и с окружением.
Для исключения такого рода искажений был предложен способ, использующий только неселективные импульсы [4.18]. Так, прикладывая один неселективный радиочастотный импульс Хав(тг) = (Ха (к) ® ®Хв{7г)) с частотой и = (иа + ив)/2, для гамильтониана системы двух спинов (4.5) во вращающейся с частотой и> системе координат получим
Ншп = —h^Auj/2 • |'{Iaz ® 1 в) — (1 а ® /в*)] — ab(Iaz ® Ibz) +
-\-H(IxA ® 1В Н" 1А ® 1хв')^ 1 Н = На — Ив, АсО — (UJA ^в}*
(4.45)
В этой системе координат поперечные составляющие операторов спина А и В прецессируют с частотой д/(Аси)2/4 + Н2 ljab в не-
котором эффективном поле Beff, имеющим равные, но противоположна — 'Ув
ные составляющие вдоль оси z Beffz = ±2^ + ^ В и, соответствен-
194
Глава 4
но, противоположное во времени вращение поперечных составляющих операторов спина. Действие неселективного импульса Хав{тг), приложенного в середине рассматриваемого интервала времени, обращает во времени эту прецессию и вместе с ней процессы, связанные с несовершенством импульсов, но его действие не обращает процессов, описываемых оператором ^ав(^лв^)-
Рассмотрим последовательность таких операций:
иш(г/2) . ХАВ(тг) . ад/2) = -4ад/2) • (ТхА ® ТхВ) • U„(t/2), (4.46)
где
Uu(t/2) = exp(-iHu0t/2h) =
= [ZA(Aut/4:) ® ZB{—Acjt/4:)\ • Zab^ab^/2)
— оператор свободной эволюции (О = 0) во вращающейся системе координат.
В результате преобразований получим выражение (см. приложение П.4.1):
иЛФ)'ХАв(к)'иЛ*/‘Х) =
г ^ ^ ^ ^ 1 (4.48)
= -4 ]Q,os(ujABt/2) • (IxA ® IxB) + i s\n(ujABt/2) • (1уА ® /yB)J ,
которое не зависит от относительной частоты прецессии спинов во внешнем поле До; и таким образом исключается влияние несовершенства импульсов.
Оказывается, что некоторые двухкубитовые операции контролируемого изменения фазы могут быть представлены в виде последовательности, состоящей из только неселективных операций поворотов ХАв(7г) и периодов свободной эволюции спинов, описываемых оператором Uw(t) [4.18] (см. приложение П.4.2)).
4.4. Экспериментальная реализация квантовых вычислений
Рассмотрим теперь как может быть практически выполнено считывание конечного состояния ЯМР квантового компьютера. Предположим, что результат квантовых вычислений представляется в виде
4.4. Экспериментальная реализация квантовых вычислений
195
собственных базисных состояний отдельных кубитов |0) и |1). В этом случае считывание результата должно сводиться к определению собственных значений продольных ^-составляющих операторов спина, то есть проектированию состояния выходного квантового регистра на состояния детектора. Однако в ЯМР-технике такое состояние не приводит к появлению сигнала на детекторе. Поэтому спиновую систему с помощью радиочастотных импульсов приводят в определенное неравновесное состояние, описываемое матрицей плотности квазичис-
оператор, осуществляющий эту операцию. В результате неравновесная матрица плотности будет содержать поперечные (когерентные) составляющие, которые приводят к появлению поперечной составляющей парциальной намагниченности ансамбля спинов типа А М±а(?) = = hjASp(l±A * Pe(t)) и определяют наблюдаемый сигнал. Считывание состояния кубитов квантового регистра на выходе компьютера (это уже неунитарная операция) может осуществляться в зависимости от длительности радиочастотных импульсов либо путем наблюдения временной зависимости амплитуды и фазы индуцируемой поперечной составляющей намагниченности в катушке детектора ЭДС, либо путем измерения спектра измеряемого сигнала ЯМР.
