Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Длительность соответствующего импульса At = 7г/2 ft а- При достаточно большой разнице резонансных частот \uja ~ ^в\ по сравнению с шириной спектра радиочастотного импульса, которая порядка частоты Раби (селективный (selective, «soft») импульс) возможна индивидуальная резонансная настройка на один спин, без существенного изменения состояния другого спина.
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 185
Операция поворота на угол ±7г/2 вокруг оси z, описываемая выражением
Z{±n/2) = ехр(±*(тг/2)?) = 072(1 ± 2ilz) = ^ J * ^ ° ,
(4.24)
выполняется за счет естественного процесса свободной прецессии спина во внешнем поле В за время t = 7г/2и; и 37г/2о; в отсутствии радиочастотного импульса.
Однако как будет видно из дальнейшего, удобнее осуществлять ее с помощью последовательности трех действующих на спины селективных радиочастотных импульсов, выполняющих последовательные повороты вокруг осей х и у во вращающейся с резонансной частотой системе координат. Так, используя выражения (4.23), (4.24), нетрудно убедиться, что
Z{±n/2) = Y(п/2) ¦ Х(±п/2) • ?(-тг/2) =
= У(-7г/2).Х(Т7г/2).?(тг/2).
Перейдем теперь к рассмотрению основных однокубитовых квантовых вентилей, преобразующих, состояние отдельного ядерного спина. Таким является, в частности, однокубитовый обратимый вентиль НЕ (NOT). Операция над ядерным спином, соответствующая такому вентилю, осуществляется унитарным оператором, производящим поворот в спиновом пространстве одного спина вокруг оси х на угол = 7г, то есть
Х(п) = ехр(г7г/ж) = 2ilx = i ^ , (4.26)
который отличается от оператора NOT несущественным постоянным фазовым множителем г.
Другим однокубитовым вентилем является оператор Адамара Н. Ему соответствует унитарный оператор, отличающийся от самообра-тимого оператора Адамара также несущественным множителем,
R = ехр |иг(1Х + 7^)/л/2J =
/1 1 \ (4-2?)
= V2i(Ix + Iz) = i^/lj2 г _Л = i^/lj2Н.
186
Глава 4
Он определяет операцию поворота на угол тг вокруг направления i + к, что может быть достигнуто путем воздействия нерезонансного импульса с частотой |и — jB\ = 7Ъ или последовательности трех импульсов (трехимпульсный сэндвич), осуществляющих повороты на угол —7г/4 вокруг оси 2/, на 7г вокруг оси х и на 7г/4 вокруг оси у [4.12, 4.13]: R = ?(тг/4) • Х(тг) • ?(-тг/4).
Еще одной однокубитовой операцией является селективная декогерентизация состояния кубитов в ансамбле, осуществляемая с помощью импульсов градиента магнитного поля. Эта операция используется, например, при приготовлении квазичистого начального состояния методом пространственного усреднения (см. раздел (4.2.3)). Оператор поворота г-го спина в ансамбле вокруг оси z под действием импульса градиента постоянного поля вдоль оси zdB/dz — G — const и длительностью At имеет вид:
Zi(jGziM) = exp(ijGziAtIzi). (4.28)
Усреднение по ансамблю, если предполагать гауссовское распределение отклонений координат спинов Z{ (zf) = 2D At, где D — коэффициент спиновой диффузии, приводит к известному из теории спинового эха результату [4.14]:
{Z^ijGziAt) ¦ Тх ¦ ZiijGziAt)) = ехр(-?>72С2(Д*)3/3)/ж. (4.29)
Когерентные (недиагональные) элементы однокубитовой матрицы плотности под действием такой операции затухают, то есть имеет место рефокусировка или декогерентизация однокубитовых состояний с характерным временем (Dj2G2/З)-1/3.
4.3.2. Двухкубитовый вентиль CNOT
Основным двухкубитовым вентилем, как отмечалось уже в гл. 2, является операция CNOT, которую можно записать в матричной форме следующим образом:
/1 0 0 0\
CNOT = 2 I о J = |0)(0| ® 1 + 11)<11 <Э 21х. (4.30)
\0 0 1 0/
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 187
Результат действия операции CNOT на два кубита состоит в том, что первый кубит не изменяет своего состояния, а второй изменяет его только если первый кубит находился в состоянии |1). Для того, чтобы можно было осуществить эту операцию существенно наличие взаимодействия между кубитами. Спин-спиновое взаимодействие между ядерными спинами в гамильтониане (4.5) как раз и способно обеспечить соответствующее преобразование.
Существуют различные способы реализации операции CNOT. Наиболее прямым является использование импульсов, селективным образом возбуждающих один из спинов, когда второй остается в одном из двух собственных состояний. Этим двум состояниям второго спина соответствуют два перехода, с различными вследствие спин-спинового взаимодействия энергиями. Фактически этот способ аналогичен известному методу двойного резонанса Паунда-Оверхаузера (R. Pound, A. Overhauser) [4.4, 4.10]. Ниже на конкретных примерах будет проиллюстрирован этот способ.
