Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Преимущества метода временного усреднения по сравнению с остальными состоят, во-первых, в том, что в этом случае не обязательно нужны вспомогательные кубиты, во-вторых, эти методы можно использовать при любых температурах и не требуется различать подансамбли квантовых компьютеров-молекул, как во втором способе, в-третьих, при высоких температурах они могут иметь отношение сигнал/шум достаточно большое для эффективного определения сигнала даже для относительно большого числа кубитов [4.5].
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР
4.3.1. Однокубитовые квантовые операции
По сравнению с процессом инициализации формирование квантовых вентилей в ЯМР квантовых компьютерах оказывается сравнительно простым, оно основано на хорошо разработанных импульсных методах в ЯМР спектроскопии [4.10-4.12]. Напомним прежде всего некоторые необходимые для дальнейшего сведения из теории магнитного резонанса, которые в равной степени относятся как к ядерным, так и электронным спинам. Наиболее простой способ описания одно-кубитовых операций заключается в использовании векторной модели Блоха (см. гл. 1), в которой состояние спина-кубита представляется точкой на сфере Блоха, а однокубитовые операции под действием радиочастотных импульсов как повороты классического вектора Блоха, указывающего на эту точку. Однако здесь будет использовано более общее квантовое описание, оно будет необходимым далее для описания двухкубитовых квантовых операций, для которых простой векторной модели не существует.
Гамильтониан свободного ядерного спина 1а — 1/2 с гиромагнитным отношением 7а в постоянном поле В (ось z) имеет вид Н = = —hjaBIaz- Свободная прецессия спина в этом поле с частотой u>a = = 7аВ описывается, как известно, унитарным оператором правого по-
4.3. Формирование квантовых вентилей методами ЯМР 183
ворота оператора спина вокруг оси z на угол фгА = и At (далее используются обозначения книги Ч.Сликтера [4.10]):
Яа(шаЪ) = exp(iuAtlzA) = cos(u At/2)1 + 2i sm(uAt/2)IZа- (4.16)
Оператор эволюции во времени пары взаимодействующих спинов, описываемый коммутирующим с операторами Iza и Izb гамильтонианом (4.5), можно представить как три независимых оператора: два оператора поворота вокруг оси z спинов А и В в постоянном внешнем поле (матрицы 2x2: Z^(o;^f), Zsi^Bt)) и оператор поворота, обусловленный взаимодействием спинов (матрица 4x4: Zab (и &&$)):
U(t) = exp(—iHt/h) = |Za(u;a?) ® ZB(<jjBt)\^ • ZAB{^ABt), (4.17)
где
ZAB^ABt) = exp [-i2uJABt{IzA 0/*b)] =
= cos(wab?/2)1 - 4г sm(wABt/2)(IzA ® Izb),
(4.18)
где 1 — единичная четырехрядная матрица.
Эволюция во времени оператора спина описывается выражением
I(t) = и^-'ЩиЦ). (4.19)
В частности, в результате действия оператора %а(ша1) на оператор со-ставляющей спина 1хв происходит поворот ее на угол
Z^-{wAt) ¦ IXA • ZA(wAt) = COs{u)At)IxA + sin(wAt)IyA, (4.20)
а в результате действия оператора Zab {^ABt) — поворот составляющей получим 1хВ на угол — (vABt) sign(Iza):
^AB^ABt) * (1A ® Ixb) * ^AB^ABt) = ^
= COs(uABt)(lA ® Ixb) - 2sin(uABt)(lzA ® Тув)-
Из последнего выражения следует, что операция (4.21) при uJABt = 7г/2 соответствует левому или правому повороту поперечной составляющей
184
Глава 4
оператора спина 1хв на угол +7г/2 или —п/2 в зависимости от состояния спина А: 1хВ => ~1ув sign(Iza)-
Импульс радиочастотного поля в простейшем случае имеет одну поляризованную по кругу составляющую (она создается двумя перпендикулярными друг другу катушками) b(t) = b(icos(ujt) — zjsin(c^t)) в плоскости перпендикулярной внешнему полю В = Вk (i,j,k — орты в направлении осей x,y,z), с амплитудой с резонансной для рас-
сматриваемого спина А частотой и = uja и длительностью импульса At 1 /иа- Если перейти из лабораторной системы во вращающую-
ся с частотой и> вокруг оси z систему координат, в которой вектор b = bi в течение длительности импульса не зависит от времени, то спин будет прецессировать вокруг направления этого вектора с частотой О,А = 7аЬ, называемой резонансной частотой Раби. Радиочастотный импульс произведет поворот спина вокруг направления вектора b = = bi (косинус-импульс) на угол фхА = На At = jAbAt (bAt) — площадь прямоугольного импульса). Соответствующий унитарный оператор во вращающейся системе координат имеет вид:
Ха(ФхА) — ^^Р^ФхА^хА) — СО8(0ж^4/2)1 -|- 2% 81л(Фха/2^1хА' (4.22)
Операция поворота вокруг оси у Уа(Фа) = ехр(гфА^уА) осуществляется резонансным импульсом сдвинутым по фазе на 7г/2 (синус-импульс), для которого b(t + п/2ио).
В частности, операции поворота вокруг осей ж, у под действием импульсов на угол ±7г/2 представляются матрицами вида:
Х(±тг/2) = ехр(±г(тг/2)4) = у/Щ<? ± 2ilx) = у/Щ ^ ,
Г(±7г/2) = ехр(±г'(7г/2)/у) = уОДТ ± 2ilv) = ^ .
(4.23)
