Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
4.4.1. Примеры реализации двухкубитовой операции CNOT
В одной из первых экспериментальных работ в качестве двухспиновой системы были выбраны два протона упомянутой выше молекул 2,3-дибромотиофена при комнатной температуре. Практическая возможность осуществления в такой системе операции CNOT была продемонстрирована на стандартном ЯМР-спектрометре с полем 9,4 Тл [4.4].
Обратимся к энергетической диаграмме для системы двух спинов А и В, изображенной на рис. 4.1. Пусть девиация равновесной матрицы плотности имеет вид (см. [4.9])
того состояния p?(t) = U(t) • р?(0) • U х(?), где U(t) — унитарный
а
2
АВ АВ АВ АВ '
ttxtt l-IWXWl)
/100 о \
а 0 0 0 0
2 0 0 0 0 \0 0 0 -1/
(4.49)
196
Глава 4
В этом случае спин А в зависимости от состояния спина В находится в чистом состоянии | ^А) или | 1А). Для «очистки» смешанного состояния, то есть исключения в матрице плотности (4.46) вклада элементов аа~olb, авторы работы [4.4] использовали метод пространственного усреднения.
После воздействия возбуждающего неселективного радиочастотного Yab(тг/2) = [Ya (7Г/2) ® Ув(тг/2)]-импульса, осуществляющего поворот обоих спинов на угол 7г/2 вокруг оси у и перевод системы в неравновесное состояние, эволюция во времени системы, если пренебречь декогерентизацией, будет определяться унитарной операцией вида
U(t) = [ZA(wAt) ® ZB{ojBt)] • ZAB(wABt) • [Уд(тг/2) ® YB(iг/2)]. (4.50)
Возникающие в результате четыре одноквантовых перехода 0 1, 2 3, 0 2, 1<^>3 будут определять спектр сигнала ЯМР, со-
стоящий из двух пар, находящихся в фазе (линии интенсивностей с одинаковым знаком) дублетов, с расщеплением по частоте 2ljab и разнесенных на расстояние \шА — ив| (рис. 4.6а).
Ил <*>в\ -
В 2&АВ | А
0<=>1 2«>3 0«>2 1<=>3
б)
Рис. 4.6. Схема преобразования спектра ЯМР после воздействия на спины А и В неселективного возбуждающего Yab(7г/2)-импульса на равновесное состояние: а) после воздействия на равновесное состояние сначала операции CNOT, б) затем после селективного считывающего импульса Ya{iг/2).
При выполнении операции CNOT на равновесное состояние рассматриваемой системы производится возбуждающее воздействие Ув(7г)-импульсом, селективным для одного из компонентов дублета, осуществляющим индуцированные переходы только между уровнями 2 3
\IaIb) ^ |Ia tв) с переворачиванием спина В, но без изменения состояния |^) спина А (контролирующий спин). Для этого импульс дол-
4.4. Экспериментальная реализация квантовых вычислений
197
жен иметь такую длительность, чтобы его фурье-преобразование имело конечную ширину До; < 2loab, то есть чтобы импульс охватывал бы только один пик из дублета. В результате получается неравновесное состояние с переносом населенностей между этими уровнями, подобное тем, которые создаются в двойном резонансе Паунда-Оверхау-зера [4.10]. Равновесная девиация матрицы плотности преобразуется к виду (множитель а/2 опустим):
(I о о 0\
0 0 0 0
0 0-10 \о о о о/
=2(IzA ® Izb) + (IzA ® 1в)?
ttxtt I - \и txu 11 =
АВ АВ В В
(4.51)
то есть, как и следовало при действии операции CNOT с контролирующим спином А. Действительно, учитывая, что CNOT = CNOT+, в результате действия этого оператора на состояние (4.49), будем иметь
/1 0 0 0\ /1 о о 0 10 0 0 0 0 1 \0 0 1 о/
о \ 0 0 0 0 0 0 0 0 \0 0 0 -1/
(\ о о 0\ 0 10 0 0 0 0 1 \0 0 1 о/
(\ о о 0\
0 0 0 0
0 0-10 \о о о о/
(4.52)
Однако в таком неравновесном, как и в равновесном состоянии, поперечные составляющие намагниченности отсутствуют. Поэтому для считывания сигнала производится снова возбуждение системы с помощью селективных считывающих импульсов Ya(tv/2) и Yb(it/2). Так, импульс Ya(tt/2) преобразует состояние (4.51) в состояние, определяемое матрицей плотности 2(Ixa ® Izb) + (ixA ® 1 в), а импульс Yb(tt/2) в состояние, определяемое 2(IzA®Ixb) + {IzA® 1 в)- Дальнейшая эволюция этих состояний во времени описывается унитарным оператором U(t) = [ZA(uAt) ® ZB(wBt)\ ¦ ZAB{uABt)-
Сигнал ЯМР, возбуждаемый считывающим импульсом Уд(7г/2), будет пропорционален
spa((?
х А
1 в) + (1А ® 1хВ)) • (2(1ха ® IzB) + (IxA
= SpаФха) ¦ (sign/гВ + 1),
>>)
Ы =
(4.53)
198
Глава 4
где Sp^ — парциальный след по состояниям спина А. Таким образом, два составляющих дублета при sign Izb > 0 действуют в фазе и образуют один сигнал, а при sign Izb < 0 они действуют в противогазе и не дают сигнала. Наоборот, сигнал, возбуждаемый импульсом Ув(тг/2), определяется противофазными составляющими дублета с разными знаками, определяемыми signIza: SPbO^b) sign/^A-
В результате, если контролирующим является спин А, то при считывании состояния этого спина (импульс YA(n/2)) результирующий спектр содержит одну правую линию с двойной интенсивностью, а при считывании состояния спина В (импульс Ув(7г/2)) результирующий пик в спектре отсутствует (рис. 4.66).
