Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно этому правилу, если три переменные и, ?, е связаны соотношением
и = ? +еЯ(ц), (59)
то
оо Jj-1 J
G(U)-G(0+2^^r-{^a)]^G(Q}**). (60)
Полагая, в частности, G(u) - и, получим в силу (60), что
" е} di-1
""E+Sj-^jrrWOP- <61>
*) В §§ 287-288 сначала доказывается формула (53i), а затем уже (532).
Однако, поскольку коэффициенты ряда (58) положительны, из изложенного в §
288 видно, что можно было бы сначала доказать (53и), а затем (53i).
Формула же (532) может быть получена непосредственно, если использовать
результат теории функций, согласно которому степенной ряд Sanzn, имеющий
конечный радиус сходимости г и вещественные неотрицательные коэффициенты
а", должен представлять функцию, имеющую при z = г особую точку (Виванти
- Принсгейм).
**) Этот ряд носит название ряда Лагранжа. (Прим. перев.)
262
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Конечно, предполагается, что заданные функции Н, G таковы, что разложение
(60) допустимо. В частности, формула (61) предполагает, что при заданной
функции Н уравнение (59) действительно определяет неявно а как
аналитическую функцию е при фиксированном ? и что эта аналитическая
функция имеет аналитическую ветвь, где эта функция равна Б при е - 0.
Тогда эта ветвь может быть, конечно, разложена при малых |е| в ряд
Тейлора. Таким образом, формула Лагранжа (61) лишь утверждает, что если Б
фиксировано, то производная порядка /(=1,2, ...) рассматри-
ваемоп ветви и по е совпадает с производной от__________\H(u\V ПРН
ди'-' V '
и = ?. Справедливость этого факта легко проверить с помощью
последовательного дифференцирования неявной функции, определяемой
соотношением (59).
§ 290. Положим, в частности, Н{и) = sin и. Тогда (59) совпадает с (7з) и,
следовательно, (61) с (50). Таким образом, в формуле (50)
Cj(5) = ^._г siQJ Б, / = 1, 2 ,..., с0(Б) = Б.
Однако по формуле Моавра функция sinJ Б представляется линейной
комбинацией 1, cos Б, ..., cos/Б или sin Б, ..., sin/Б, если / - четное
или нечетное число соответственно. Производная порядка (/ - 1) от sinJ Б
представится в обоих случаях линейной комбинацией sin Б, ¦ sin/Б-
Выполняя вычисления, легко найдем, что
flP-1 sin3'Б к-f1 (-l)ft / / \
С*(Б)==-5Fi=i-s 2
(62)
где через [//2] обозначается целая часть числа '/г/- Таким образом,
)
со(Б)=Б> Cj (Б) = S Упsin *?, /=1,2,..., (63)
г=1
где постоянные уц определяются согласно (62).
На этом можно считать законченным определение в явном виде коэффициентов
разложения (50), рассматривавшегося в §§ 285-288.
§ 291. В §§ 287-288 критерии (53)) - (53г) пригодности решения уравнения
(7з) в виде ряда (50) был получен с помощью асимптотических свойств
коэффициентов ряда Фурье (51), пред-
§g 285-298. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
263
ставляющего решение уравнения (7з). Однако можно прийти к (50) и к (53i)
- (53г) и без помощи рядов Фурье, если только применить при анализе этого
уравнения теорию аналитических функций. А именно, положив
F(u,e,t)=u - е sin гг - ?, (64)
запишем (7з) в виде F(u. е, ?) = 0. Таким образом, задача заключается в
нахождении при фиксированном ? той ветви мпогозпач-ной аналитической
функции и = и(е, ?), определяемой уравнением F = 0, для которой ы(0, ?) =
?. Однако частная производная функции (64) по переменной (комплексной) и
равна
Fu(u,e,Q=i - е cos гг. (65)
Следовательно, |.FU| >¦ const >¦ 0 при любом ?, если значения комплексной
переменной и достаточно близки к вещественной оси, а комплексная
переменная е достаточно мала по модулю. По теореме о локальном
существовании неявной функции (аналитической) решение и = гг (гг, ?)
уравнения F = 0 может быть представлено в виде ряда (50), причем
этот ряд имеет при любом
фиксированном вещественном ? конечный радиус сходимости р = р(?) и
неравенство (53<) справедливо при достаточно малом положительном р*. Тот
факт, что это неравенство справедливо при значении р*, равном (49), может
быть доказан при непосредственном анализе уравнений F = 0, Fu - 0. К тому
же результату приводит непосредственное исследование "ближайших
особенностей" на римановой поверхности и = и(е, ?) при фиксированном
вещественном ? (см. также замечание в конце § 292) *).
*) Упомянутое только что непосредственное доказательство (53i) - (53=)
сыграло важную историческую роль в теории аналитических функций.
Лагранж получил разложение (50) формальным путем и не доказал, что это
разложение действительно представляет решение уравнения Кеплера при
каких-либо конкретных значениях е, например, при е < 1 /1000. Несколько
десятков лет спустя Лапласу показалось, что он заполнил этот пробел,
причем Лаплас пришел именно к (53j) - (532). Однако фактически
соображения Лапласа носят чисто эвристический характер и ничего не
доказывают.
Эта неудача вполне понятна, так как данную проблему можно решить лишь на
основе анализа проведения функций в комплексной области (см. замечание по
поводу (ii) в § 286), для которого во времена Лапласа еще но было
средств.
Заметим, что основным толчком, приведшим Коши к открытиям в теории
