Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(10)
2 (1 - е cos и) '
где квадратные корни считаются положительными (см. § 264). Заменяя и на w
и е на -е, получим формулы, представляющие собой обращение (10):
(1 + е),/а cos^ и 2
cos - =
(1 + е cos w)
ч'
W
(1 - е) 'la sin-и v ' 2
sin- =--------------------. Ml)
2 (1 + е cos w) I*
В соответствии с (5г) и (6г) можно переписать (10) и (11) в виде
(12)
- IV и
~jr cos- =(1 - e)1/scos -,
t- W и
¦yr sin- = (1 + e)I/asin -. л л
Наконец, с помощью (5г) легко установить, что (8) можно переписать в виде
rcos(w - и)= a^jl - е cos и - -[1 + 7*(е2)] e2sin2 и |,
in(n> - и) = a -|l - --[1 -)- Р(ег)~\ е cos и j-e .sin и (Р( 0) = 0),
rsm
(12а)
§§ 274-284. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ
247
где
1 -(1 - е2)'/* = * e2[i+P(e2)],
т. е. Р(е2) = lUe2 + ... - четный степенной ряд, сходящийся при |е| < 1,
причем Р(0) =0.
Следует упомянуть также, что в соответствии с (li)
1
(1 ± е cos w)f ~ _(1 ± 2/cos w + j*)e, (13i>
и
2f (13*)
l + p
§ 276. Связь между временем t и тремя аномалиями ?, и, w может быть
определена при начальных условиях (42) - (44) квадратурами, вытекающими
из
dt
- = а\ (140
dt, dt, г
-Г=-, 14*)
аи а du г
Ши = в(1 -е*)'/.' (14з)
Заметим, что (14i) вытекает из (72),( 4i), а (14з) -из (7з), (52).
Наконец, дифференцируя первое из соотношений (9) по w и используя (62) и
второе из соотношений (9), придем к (143).
Название "средняя аномалия" обосновано тем, что ? = t,(t) совпадает с
истинной аномалией в том случае, если угловая скорость w' - w'(t)
относительно начала декартовой системы координат (64) не зависит от t.
Действительно, записав (4i) в виде
2л
п = -, (15)
где
Т2 - 4л2а3
2 1
можно на основании (5i), (72), (7з) заключить, что Т - период
эллиптического движения, представимого формулами x - x(t), у = y(t).
Однако в силу соотношения (15), выражающего третий
248
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
закон Кеплера, период Т не зависит от эксцентриситета, т. е. время
полного обращения вокруг фокуса, как при е = 0, так и при О <С е < 1 (и
даже при е = 1), одно и то же, если только фиксирована длина большой оси.
Наконец очевидно, что в круговом
случае (е = 0) постоянная угловая скорость w'(t) совпадает с п.
Поскольку все три аномалии ?, и, w являются в силу (14j) - (14з)
монотонно возрастающими функциями t, а также друг друга, то любую из них
можно использовать как независимую переменную, играющую роль времени.
Если период движения по t равен Т то, как- это видно из (5j) - (7з) и
(15), период движения по любой из аномалий ?, u, w равен 2л.
§ 277. В частности, любая из функций (аналитическая) и - ?, х, г, cos w
времени t, рассматриваемая как функция Е(?) средней аномалии ? = n(t -
t0), может быть разложена в ряд Фурье
*¦(?)= S 4ехр(ВД,
(16i)
где
1 1п
Ak==~^l ^(S)exp(-Agi)dg.
(16,)
Коэффициенты Ah выражаются через целые трансцендентные функции
1 2я
¦Mz) = -- \ cos(/rau -zsina)du = (-l)(tm)/_m(z), (17i)
2л J
D
" (-l)n(l/lZ)m4"n л!(т + л)! '
(17.)
274-284. РАЗЛОЖЕНИИ КООРДИНАТ
249
удовлетворяющие рекуррентным формулам
2 kJh(z)
?h+i{z)-
Z
2dJh(z) dz
(180
(18z)
Эти функции, связываемые обычно с именем Бесселя, использовались широко
как раз в рассматриваемой задаче самим Бесселем, а также на полстолетия
раньше Лагранжем и другими*).
§ 278. Прежде всего из (5з), (7з) и (162) имеем
1 М
Ah = -- ^ (1 - ecos u)F(u - esin u)exp(-kiu + kei sin u)du. 2jx *
0 (19)
Положим, в частности, F(?) = exp lui, где I - положительное целое число и
u = u(?). Тогда, интегрируя (19) по частям и исходя из определения (17),
придем к формулам
I
Ah == Jh-i (кв) - ,
если к ф 0 и А0 - -7ге при I = 1, а А0 = 0 при I > 1. Таким образом, ряд
(16i) для F(t) = lui сведется к рядам
COS 111 A-l(^(r))
I
sin lu
k=-<x
+~, = s
к
cos &?
h-i(ke) .
если 1= 2,3,
I к
или к рядам
-к",
sin
(20)
cos
u = -4e+ s
h=~ о
Jh-i(ke)
к
cos k%,
Jk-i(ke) .
.sm u = >j ----sm kt"
ft-oo
(21)
*) Первые исследования краевых задач (Д. Бернулли, Эйлер, Фурье, Пуассон)
также приводили к этим функциям.
250 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
если I = 1 (штрих в символе 2' означает, что при суммировании
пропускается член с к = 0).
Подстановка (21) в (73) и (52) приводит к формулам
= ? + e S '""Г-~ sin Ас?. (22i)
)l=-no
г 1 Jh-i(ke)
_ = !+ e*_e 2 -i_l_icoSfcg. (22,)
a 2 , /с
fc=- oo
Дифференцируя (22i) по ? и учитывая (142) и (18i), придем к формуле
+=°/ "О
- = 1 + е 2 Л-i (Асе) cos &? = 1 + 2 2 Л (Асе) cos Ас?. (23)
Ььл ОО fe=i
Выражая cos ц, cos 2u согласно (20), (21) и учитывая соотношение
г(r) = а2 (^1 -f -1 е* - 2е cos u + е2cos 2гЛ,
v 2 2 /
получим аналогичным образом формулу
г2 3 ^ Л (Асе)
- = 1 + т"2~42--r-coskl. (24)
Л=1
Дифференцируя далее (222) по ? и учитывая (62), (23), а также соотношение
(1 - е2)1/" dr
sin w =---------------
ае ас,
(действительно, из (9), (62) и (52), (142) имеем соответственно
г sin w
sin и =
a(l - e2),/j '
dr a
- = ae sin и -, d? r
§§ 274-284. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ
придем к формулам
+оо,
cos w = - е -)- (1-е2) 2 7ft-i(A:e)cos
