Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
получим, что
U = 4 + 4(g2 4- ri2)A
и ш = 0. Поэтому при помощи (130 - (13г) § 230 получим, что
? = 8Ag, ц = 8Ari, (40
- (I2 + rf) + 8 (Б2 + rf) A = -8. (42)
Координаты Б, ц являются параболическими координатами, указанными в §
54, с началом в точке г = 0. Полагая
у = У(-Т- 32А), если А ^ 0, и у = 4, если А = 0, (50
и = yt (А ^ 0, у > 0) (50
и обозначая постоянные интегрирования через аир, увидим, что соотношения
(40 удовлетворяются *), если
1 | = a cos - и, О 1 Т1 = psm-u,
1 = асЬ-^и, , 1 Л = psh-n, (6)
1 1=2", 1 0 Л = 2~
где А < 0, А > 0, А = 0 соответственно. Однако функции (6) должны
удовлетворять инвариантному соотношению (4г). Так как
cos2 и = 1 - sin2 гг, ch2 ы = 1 + sh2 и,
*) При замене четырех постоянных интегрирования (4,) двумя постоянными
интегрирования а, р общность не теряется. Это будет показано в § 261 и
объясняется тем фактом, что можно выбирать произвольно направление оси х
на плоскости (х, у) и начало отсчета времени t.
258-273. АНОМАЛИИ
235
то из (5j) - (5г) видно, что в силу (4г) постоянные а, [3 удовлетворяют
соотношению
1
h'
а2± р* = -
если А ^ 0 и р2 = 2, если А = 0. Отсюда вытекает, что если и если
положить а = (-2А)-1, то существует единственная величина е ^ 0 такая,
что
а2=а(1 - е), Р2 = ± а(1 + е).
Еси же h - 0, то а2 = 2р, р2 = 2 и величина р ^ 0 единственная.
§ 260. Подставляя (6) в (3i) и используя полученные формулы для аир,
легко найдем, что
х = a (cos и - е), у = а~! 1 - е2 sin и, если А < 0
(а > 0, 0 < е < 1),
д:=а(сЬи - е), у = afe2 - 1 sh и, если А > 0
(а < 0, е S3 1),
1 _ х - - (р - и2), у =^р и, если А = 0.
di
(7)
Так как г2 = х2 + у2, то при А < 0, А > 0 или h = 0 имеем
a(l - е cos и),
- a(echu-1), (8)
\ (Р + и2) соответственно.
Отсюда вытекает, что если to - постоянная интегрирования, то
t - t0 =
fa3(u - esinu),
У- a3(e sh u - и),
(9)
в трех соответствующих случаях. Действительно, из (З2) и (5г), где
236
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
ВИДНО, ЧТО
t - -\r du. к J
Следовательно, (9) следует из (8), (5i) и из определения а - = (-2Д)-1, а
^ 0, h ^ 0.
§ 261. Положим временно
х - х ае, (10)
если h ^ 0, и
1
х=х--Р,
если h = 0, а также у = у при h Щ 0. Положим также
Ь2=±а2( 1 - е2), (И)
если h ^ 0, так что Ъ2 >¦ 0 при е ф 1 и Ъ2 = 0 при е = 1
в силу
(7). Очевидно, что формулы (7) можно записать при h < О,
/г > О, А = 0 в виде
х - a cos и, у = Ъ sin и, г = a ch гг, у = Ъ sh гг,
1 -
х = --гг2, у =~jp и
(12)
соответственно. Эти формулы представляют соответственно эллипс, гиперболу
и параболу. Центр в первых двух случаях определяется координатами х = у =
0, а длина осей равна ±2а > О, 21Ъ | ^ 0. В третьем случае в точке (х, у)
= (0, 0) расположена вершина параболы, а р ^ 0 - параметр. Поэтому из
(10) следует, что начало координат (х, у) = (0, 0) является фокусом во
всех трех случаях. Формула (11) показывает, что величина е представляет
собой в первых двух случаях эксцентриситет. Следовательно, постоянные а,
е, р в формуле (7) совпадают с постоянными а, е, р в § 242, так что в
силу (4) § 241
е = (1 + 2Ас2),/г ^ 0, а = (-2А)-1, если А Ф 0, р = с2 ^ 0, если А = 0.
(13)
Геометрический смысл вспомогательной переменной и, связанной с t
формулами (9), очевиден из (10) -(12). Вспомогательная переменная и
называется эксцентрической аномалией.
§ 262. Заметим, что геометрический смысл переменной и теряется, если с =
0, причем кЩ 0, т. е. если е = 1 при h ^ 0 или
§§ 258-273. АНОМАЛИИ
237
[j = 0 при k = 0. Если с Ф 0, то движение точки по интегральной кривой
вокруг начала координат (х, у) =¦- (0, 0) прямое при с > 0 и обратное при
с < 0 (см. § 214). Эта двойственность отражается наличием квадратных
корней в формулах (7), (9) и неявным обрааом формулами (11) - (12). Легко
проверить, что эти квадратные корни следует брать с тем же знаком, какой
имеет с (в частности, малая ось 2 Ъ оказывается отрицательной при h < 0,
если движение обратное). В силу результатов, изложенных в § 214, можно
рассматривать без потери общности лишь прямое движение (с > 0, У > 0, h Щ
0), если только исключить случаи, когда само понятие прямого движения не
определено, т. е. случай прямолинейного движения (с = 0, У = 0, h 0 0).
§ 263. Предположим, что рассматривается движение, отличное от
прямолинейного, т. е. что с ф 0. Тогда 0 ^ е < 1, или р > 0, если h < 0,
h > 0 или h = 0 соответственно. Следовательно, если г, w обозначают
полярные координаты с полюсом в (х, у) = (0, 0) и угол w - 0
соответствует направлению на периастр, т. е. минимальному значению
радиус-вектора, то уравнение конического сечения запишется в виде
-- а(1"ег) (14)
1 -j- е cos w' если (-2а)-1 = h, или
г = --^----------, (141)
1 + COS W
если h - 0. Согласно (8) минимум г достигается во всех трех случаях h = 0
при и - 0. Согласно же (9) при и = 0 имеем t = t0. Следовательно, если ср
- полярный угол, отсчитываемый от положительной полуоси х, и если ось х
не совпадает с осью симметрии конического сечения, то
х = г cos ф, У - г sin ф, w= ф - (О, (О = (ф)<=<0,
