Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Алгебраическое дифференциальное уравнение (21i) обладает при х - 0
особенностью, и, более того, любое решение этого уравнения имеет при t =
t0 особую точку, если x(t) ->-0 при t-+t0. Действительно, из (21г) видно,
что l^'] -> оо при |z| ->-0.
Можно показать, что эксцентрическая аномалия является локально
регуляризирующей переменной, устраняющей особую точку аналитической
функции x{t) времени t.
Прежде всего, если с = 0, то согласно (13) имеем е = 1 в эллиптическом и
гиперболическом случаях (h ^ 0) и р = 0 в параболическом случае (h - 0).
Следовательно, формулы (7) и (9)
х" + х | а: | -3 = 0,
2 Х'г ~ И_1 + Л-
(2U)
(21i)
§§ 258-273. АНОМАЛИИ
241
перепишутся в виде
a (cos и - 1), a(chu- 1),
(22i)
Уа3(и - sin и),
У- as(shu - и),
(22*)
У36 '
Б соответствии с этими формулами столкновение имеет место при и = 0,
2я,..., если h •< 0, или лишь при и = О, если h ^ 0.
В силу периодичности движения при h •< 0 достаточно рассмотреть тогда
лишь одно значение и = 0.
Выберем далее ось t так, чтобы момент t = 0 соответствовал значению и =
0, т. е. положим to - 0. Тогда формулы (22i) - (222) заменятся во всех
трех случаях следующими:
где P]{z), j = 1, 2,- степенные ряды, сходящиеся при всех z, с
вещественными коэффициентами и с не обращающимися в нуль свободными
членами Р,(0). Поэтому, исключая и в окрестности значения и = 0 (t = 0),
получим при достаточно малых |?|
где с0 ф 0 и сп Щ. 0.
Отсюда вытекает, что x(t) имеет один и тот же знак как при малых
положительных, так и при малых отрицательных t, т. е. что частица,
движущаяся вдоль оси х, отражается при столкновении от частицы,
покоящейся в точке х = 0. Другими словами, картина та же, какая
наблюдалась выше в § 170. Отличие состоит в том, что в данном случае в
момент отражения скорость х' (t) бесконечна (| x'(t) \ имеет в силу (23)
порядок ] t ] ~'1> в окрестности t = 0), а в рассматривавшемся ранее
случав она была равна нулю.
х = u2Pi(u), t = ubPz (и),
(23)
16 А. Уинтнер
242
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
§ 269. Если подойти к этому случаю строго с аналитической точки зрения,
то положение следующее. Будем рассматривать и и t как комплексные
переменные. Тогда функция x(t) будет аналитической по f, так как она
может быть получена путем исключения и из целых по и функций (22i) -
(22г). В соответствии с (23) эта аналитическая функция а:(?) имет при t =
0 алгебраическую точку разветвления, в которой соединяются три листа
римановой поверхности. Из (23) также вытекает, что если t отлично от
нуля, по малое и вещественное, то функция x(t) будет вещественной на
одном и только одном из этих трех листов, как при t -О, так и при t +0,
т. е. и до и после столкновения. Поэтому, если 0 ф i-"- ±0, то функция
x(t) допускает одно и только одно вещественное аналитическое продолжение.
Эту единственную вещественную ветвь аналитического продолжения можно
расматривать как такую, которая определяет динамическое продолжение
задачи. В соответствии с последним замечанием, сделанным в § 268 (и
указывающим на осложнения неаналитичес.кого характера), это продолжение,
а также движение частицы при столкновении таково, что наблюдатель,
находящийся на любой из двух частиц, едва ли был бы в состоянии сделать
сообщение о наблюдениях, выполненных во время столкновения. Эти
соображения имеют и чисто аналитический смысл и описывают вещественные
особенности проблемы, т. е. те особенности аналитической функции, которые
имеют место при вещественном t, если рассматривается лишь вещественная
ветвь x(t).
§ 270. Так как формулы (22t) - (22г) представляют собой параметрическую
запись функции (23), то можно сделать вывод, что эксцентрическая аномалия
и упиформизирует не только многозначную зависимость между (х, у) и t или
rut (см. § 267), но также и локальные особенности вещественной
аналитической функции x(t) вещественной переменной t во всех трех случаях
h 0. 0 прямолинейного движения.
Оказывается, что униформизация локальных особенностей (но не многозначной
зависимости) возможна также и в задаче многих тел, если рассматривается
столкновение лишь двух из этих тел. Хотя формулы, аналогичные (7) - (9) и
выражающие зависимость между координатами и временем, выписать тогда
нельзя, однако локально униформизирующая переменная и будет такой, что
функция t = t(u) оказывается, как что было в § 259, (см. (34), (5г),
(Зг)), линейной по отношению к интегралу от взаимного расстояния,
обращающегося в нуль (см. §§ 414, 448, 498).
§ 271. Результаты, изложенные в §§ 268-269, становятся совсем не
очевидными и попросту неверными, если заменить закон Нью-
§§ 258-273. АНОМАЛИИ
243
тона произвольным законом притяжения. Действительно, предположим, что
притяжение обратно пропорционально третьей, а не второй степени
расстояния. Тогда в уравнении (212) следует заменить |я|~3 на |я|-4, так
что вместо (212) получим соотношение
l(*Y=±+h.
2 \ dt J х2
С помощью простой квадратуры получим функцию t=t(x), а анализ обратной
