Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
любом фиксированном вещественном ? не только в круге | z | < р* (как было
доказано в § 287), но также в большей области, ограничиваемой кривой Г
(см. рис. 9). К такому выводу мы придем сразу, если применим рассуждения,
использовавшиеся в § 287, и формулы (68) и (72) вместо (46,) и (48)
соответственно.
Так как функция u(z, ?) при любом вещественном ? аналитическая внутри
кривой Г на плоскости z, то, как это видно из рис. 9, при любом
положительном во С 1 существует положительное число х = х(е0) такое, что
функция ц(е, ?) может быть разложена в ряд по степеням (е - е0) с
коэффициентами, зависящими от ?, сходящийся при любом ?, если только \е -
е0| < х(е0). Полагая, что е0-"- 0, придем, как это видно из рис. 9, к
(53,).
§ 296. Из сказанного выше также вытекает, что функция и = ='ц(е, ?) может
быть представлена рядом, сходящимся при любом е = z внутри Г и при любом
вещественном ?.
Действительно, пусть функция Z = Z(z) определяет конформное и взаимно
однозначное отображение области внутри Г на круг единичного радиуса на
плоскости Z. Тогда функция u(z, ?) оказывается в силу этого отображения
функцией Z и ?, аналитической при |Z| < 1 и при любом фиксированном ?.
Таким образом, при | Z | < 1 мы имеем разложение
(73)
где Ап - -4".(Е), Z = Z(z).
§§ 285-298. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
267
Можно положить Z(z) -g(z). Действительно, сравнивая тогда (70), (71) и
(72), где Я = 7?(ф), увидим, что между кривой Г на плоскости z и кругом |
Z | = 1 на плоскости Z имеется при 7,(z) = g(z) непрерывное взаимно
однозначное соответствие. Так как функция (67) при \z\ <1 и,
следовательно, внутри кривой Г (см. рис. 9) аналитическая, то из
известной теоремы о конформном отображении (Дарбу) вытекает, что функция
g(z) определяет конформное взаимно однозначное отображение области внутри
Г на область |Z| <С 1.
Область внутри Г содержит в соответствии с рис. 9 интервал 0 ^ г = е <С
1. Следовательно, полагая Z - g и z - е в (73), увидим, что разложение
ОО
и(е- ?) = 2^"(?)fc(e)]n [см. (12)] (74)
71 = 0
имеет место, как и (51), но, в отличие от (50), при любом положительном е
< 1 и при любом вещественном ?.
§ 297. Тот факт, что область применения разложения (50) ограничивается
условиями (53i) - (53z) и (49), в то время как разложение (74) остается
справедливым в большей области, можно объяснить тем, что (50) и (74)
являются результатом двух различных перегруппировок членов одного и того
же формального двойного ряда. От (74) к (50) мы придем, разлагая функцию
(12), а также ее степени [g(e)]2, [#(е)]3, ... по степеням е, а затем
перегруппировывая его члены формальным образом. Наоборот, если мы
используем выражение (62) для коэффициентов ряда (50), то можно прийти к
ряду (74).
§ 298. Аналогичное объяснение (наряду с тем, какое было приведено в §
286) можно дать тому факту, что область применимости ряда (50)
ограничивается, а ряда (51) не ограничивается условиями (53i) - (532).
Прежде всего подстановка (62) или (63) в (50) и последующая формальная
перегруппировка членов приводит к двойному ряду с членами вида уде5' sin
It,, где уд - численные коэффициенты. Кроме того, (17а) показывает, что
(51) можно записать формально в виде двойного ряда такого же вида.
Применим далее (46i), (472), (48) к последнему двойному ряду. Таким же
путем, как это было сделано в §§ 287-288, легко найдем, рассматривая
соответствующие мажоранты, что двойной ряд, соответствующий (51),
абсолютно сходится и поэтому его можно путем перегруппировки членов
записать в виде (50), если е(> 0) меньше,
268
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
чем р\ а ?(Щ0) произвольное. Таким образом, суть дела в
том, что представление двойного ряда в виде (51) более выгодно
с точки зрения его сходимости, чем запись этого ряда в виде
(50) *), так как (51) сходится при любом ? и 0 ^ е < 1, а не
только при 0 ^ е < р* = 0,662 .. .
§ 299. В §§ 283-298 было приведено исследование ряда Фурье (22i),
расположенного по степеням эксцентриситета. Поведение остальных рядов
Фурье, приводимых в § 278, анализируется аналогичным образом.
Например, формулы (5i) показывают, что для представления в виде рядов по
степеням е (с коэффициентами, зависящими от ?) прямоугольных координат
достаточно разложить в такой ряд ехр iu. Однако разложение (50) для и
имеет место, если выполняются условия (53i) - (53г), a cos и и sin и -
целые функции и. Следовательно, ряд для ехр iu, а вместе с тем и ряды для
функций (5i) справедливы при любом значении переменной ? лишь при
условии, что е < р* (=0,662...). В явной форме ряд для ехр iu можно
записать следующим образом:
" el
ехр iu= ехр ?i + 2j (sm] ? ехР ?0 • (75)
К такому ряду мы придем на основании (59), если положим там G(u) = ехр
iu, Н{%) = sin ?.
СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
§ 300. Рассмотрим уравнения (lj) § 258, обозначая координаты через х, у
(вместо х, у). Тогда формулы (12)- (2а) § 258 перепишутся в виде
L = ±-{x'* + y'*) + ^r, (10
^-(^ + Г2)- -= (12)
