Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
формулы, представляющие собой элементарную аналогию (25) и (21):
00
oosw =-/ + (1-f) cos ки, (41i)
i
ао
sin w = (1 - f2) 2 У*-1 sin ku, (41г)
fc=i
или, наоборот,
cos
fc=i
sinn = (l - f) 2(-/)ь~* sin kw. (422)
h-i
Действительно, из (132) видно, что первое из соотношений (39) совпадает
со вторым из соотношений (42), а первое из
256
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
соотношений (41) эквивалентно в силу (62) следующему:
-7 = 'Т~^(1 + 2 2/hcosAu) (43)
причем в силу (13г)
1+/2 1
I-/2 У1-е2
Так как соотношения (41) и (42) переходят друг в друга при замене w на а
и / на -/, то этого достаточно для вывода о справедливости (43). Однако
(43) следует из (143) после дифференцирования (З61).
§ 283, Если через ch = с^(е), к = О, ±1, ±2, ..., обозначить коэффициент
Фурье в каком-либо из рядов, приведенных в §§ 279-282, то, поскольку
рассматривавшиеся периодические функции являются аналитическими по
отношению к вещественным переменным ? = re(i - to), и или w, сходимость
этих рядов настолько сильная, что |сь| <1 0,h| при некотором 0 = 0(e) <1
1. Исключая круговой случай е = 0, в котором Ck = 0 при всех достаточно
больших |А|, можно даже получить для коэффициентов с/, = ch(e)
асимптотические формулы в явном виде, выражаемые с помощью /(е) или g(e).
Эти асимптотические формулы легко вытекают непосредственно из (35) -
(З62), (41) - (43) или из (20) -(27) и (28), поскольку при фиксированном
е (0 <1 е < 1) и /тг->-(-оо для функций (17*) и (49) справедливы
асимптотические представления
1 (е(е))т
<"¦>
С"(е) ~ (44,)
771
Действительно, в силу асимптотической формулы, которая была найдена
впервые (Карлини, Коши, Якоби) именно в связи с рассматриваемой задачей и
считается сейчас стандартной, имеем при т -> +оо
Jm(mscha) ~ (2.nmth a)~l/2exp{(tha - a)m}, (44ia)
где a > U - произвольное фиксированное число. Так как при любом 0 < е < 1
существует одно и только одно значение a - = a(e) такое, что 1 / е = ch a
= 1/ sch а, то из (1г) видно, что (44ta) можно переписать в виде (414).
Кроме того, формула (41г), не вытекающая из (41t) и (30), может быть
получена на основа-
§§ 274-284. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ 257
нии (29) тем же самым методом, как и (44ta) или (444) из
(17i),
а именно методом Коши "скорейшего спуска", вновь открытым Ри-
маном. Этим методом можно также показать, что в исключенном случае
периодических столкновений (е = 1) формулы (44i), (442) заменяются
следующими:
• бЧТ/з)
-зйЯР (45<)
е"(1>-----------------------------------------------------("О
3/j т '5 л;
где через Ст (1) обозначен предел *) Ст(е) /У 1 - е2 при е-"-1-0.
§ 284. Если заменим е в (44i) на z, то увидим, что | Jm(mz) |1/m имеет
при т-+ +оо предел, равный \g(z) |. Из теории бесселевых функций
известно, что к такому пределу мы приходим не только при 0 < е = z <; 1,
но и при всех мнимых z, т. е. при z = t|z|. Мы получим, следовательно,
что при т -"- оо
lim[/m(?m|z[) I1/"1 = |g(i|z|) [, '46i)
<"*>
причем (462) вытекает из определения (12) величины g. Если \Zi\ < |z2|,
то
lff(*M) I < ?("Ы) I- (47i)
Действительно, логарифмическое дифференцирование формулы (46г)
показывает, что производная от |g(i|z|)| по |z| всюду положительна,
откуда и следует (47i). Из (172) вытекает далее формула
m+ 2п
- Z 71=0 4 '
В соответствии с (47Д функция (462) монотонно возрастает вместе с |z| от
|g(0) | = 0 до |g'(+oo-z) | = +°°- Отсюда вытекает, что трансцендентное
уравнение |g(ip*) | = 1 имеет один и только
*) Разумеется, интеграл (29). расходящийся при z = 1, может быть
определен при z = 1 или как главное значение, или как комплексный
интеграл, в котором путь интегрирования выбран так, чтобы можно было
избежать полюсов.
17 А. Уинтнер
258
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
один положительный корень р и что для этого корня р* и для любого I Z |
ИФ1)1Ш1, (48)
при |z| Щ р* соответственно.
Подставляя значение |z| = 2/3 в (462), увидим, что число \g(zl3i) |
весьма мало отличается от 1. В силу (48) это означает, что р* несколько
меньше, чем 0,666... Фактически р* несколько превышает 0,66, так как
согласно (462) число |g(0,66i) | меньше единицы. С точностью до первых
семи цифр после запятой
р* = 0,6627434. (49)
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
§ 285. В соответствии с § 266 при рассмотрении задачи двух тел
в эллиптическом случае (0 < е < 1) мы встречаемся с необходи-
мостью решения трансцендентного уравнения Кеплера (7з). Для нахождения
разложения функции и = и(е, ?), неявно определяемой уравнением (7з),
можно избрать два пути:
(г) на основании результатов, полученных в § 278, можно разложить
разность и - ? при любом фиксированном положительном значении
эксцентриситета (<1) в ряд Фурье по синусам углов, кратных ?, с
коэффициентами, зависящими от е;
(ii) вместе с тем можно попытаться разложить функцию и = - и(е, ?) при
любом фиксированном значении средней аномалии t в ряд Тейлора по степеням
переменного эксцентриситета е с коэффициентами, зависящими от ?. В этом
случае
