Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(150
(15г)
(15з)
где постоянную интегрирования (15з) можно характеризовать в некруговом
случае (е ф 0) также тем условием, что тшг(ф) = = г(ш). Переменная (15г)
в формулах (14), (140 называется истинной аномалией.
§ 264. Если с > 0, то истинная аномалия w является монотонно возрастающей
функцией эксцентрической аномалии и наоборот.
238
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Имеют место следующие формулы:
IV
tg~2 =
У
1 -f е и
Т^'г?'
У^К'
(16)
Ур
где А<0, А>0, А = 0 соответственно и квадратный корень берется со знаком
+. Действительно, подставляя (15i) - (15з) в (2i), получим, что rW - с.
Следовательно, w' > О и w = w(t) является монотонно возрастающей
функцией. То же самое справедливо в силу (Зг) и (5г) для и = u(t). Кроме
того, при и = 0 получим в силу (8) и сказанного в § 263, что w = 0.
Поэтому на основании первого из двух соотношений
cos а =
1 +tg2v
а
2tg2
smo =
1 + tg2^-
(17)
легко установить, что (16) вытекает (если У > 0) из (8) и (14).
§ 265. Если с Ф 0, то целесообразно ввести вместо времени t новую
независимую, переменную ? по формуле
5=п(*-"о), (18)
где п2 = а~3, гг2 = -а~3, п2 = 4р~3 при А < 0, А > 0, А = 0
соответственно, постоянная интегрирования п считается положительной при с
> 0 и отрицательной при с < 0, a t0 совпадает с одной из постоянных
интегрирования, неявно определяемых формулами (14) - (15з). По причинам,
которые станут очевидными из излагаемого в § 276 для случая А < 0,
линейная функция (18) времени t называется средней аномалией.
!§ 258-ЯЗ. АНОМАЛИИ
239
§ 265а. Йз (9) и (18) видно, что эксцентрическая аномалия и - = u(i)
совпадает со средней аномалией ? = ?(?) только в круговом случае е = 0,
когда u(t) не отличается в силу (16) и от истинной аномалии w - w(t).
Функцию
времени t называют уравнением центра *).
§ 266. Соотношение между временем и эксцентрической аномалией называют
(во всяком случае, при h < 0 и е - 1) уравнением Кеплера. Важная роль
этого уравнения видна из того, что после нахождения м, мы получим х =
x(t), у = y(t) по формулам (7). Если с =/= 0, то формулы (9) можно
переписать с помощью (18) в виде
§ 267. В соответствии с § 214 мы сможем найти функцию г =¦ - r(t) при
любом фиксированном значении постоянной интегрирования с из уравнения
[L*]т = 0, описывающего систему с одной степенью свободы, к которой
применимы результаты
Пусть, например, h < 0, а предельные случаи, когда е - 1 (с = 0) или е =
0, r(t) -• const, исключены. Тогда для нахождения периодических решений г
= r(t) уравнения [Z/]r = 0 применимы результаты § 188. Оказывается, что
роль новой независимой переменной t (см. § 188) играет в этом случае
именно эксцентрическая аномалия и. Другими словами, формула (7) § 188
справедлива при q = г, t = и, если р равно максимуму, а и - минимуму г.
Этот результат непосредственно вытекает из изложенного в § 188 и из
формул (8) - (9) § 260, причем экстремальные значения равны а = а(1 - е),
р = а (1 -{- е). Соответ-
*) Возникновение такого названия восходит к древним временам, когда
астрономы называли "уравнением" и "неравенством" те величины, под
которыми в настоящее время понимают "коррекцию" и "отклонения"
соответственно. Таким образом, "уравнение центра" означает нечто подобное
"поправке за счет отклонений от кругового движения". Эта поправка
определяется формулой (19), причем равенство w(/) = ?(i) справедливо лишь
в круговом случае е = 0..
Б= W - ?
(19)
и - е sin и, ? = е sh и - и,
(20)
§§ 185-190.
240
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
ственно^ (9i) § 188, если положить в этой формуле t0 = 0, vo = Уа3, Xi -
-е^а3, Хп - 0, п > 1, совпадает с (9) § 260. Наконец, коэффициенты Фурье
(Юг) § 188, где q(t) = r(f), выражаются через бесселевы функции (см. §
278).
Зависимость между г и t нуждается в униформизации не только в описанном
эллиптическом случае, но также в гиперболическом и параболическом случаях
(h ^ 0, с ф 0).
Действительно, в этих случаях r(t) при изменении t от -оо до +оо
принимает любое значение, превышающее minr(f) = = Го > 0, два и только
два раза. В соответствии с (8) и (9) эксцентрическая аномалия является и
в этих случаях униформизую-щей переменной.
Фактически эксцентрическая аномалия и является в силу (7) и (9)
униформизирующей переменной не только для r(t), но также и для х (t),
y(t) независимо от значений постоянных интегрирования h, с. В этом
заключается аналитическое значение эксцентрической аномалии.
§ 268. В §§ 263-267 предполагалось, что с ф 0. Положим теперь с = 0, так
что движение оказывается (см. § 242) прямолинейным и можно предполагать,
что оно происходит вдоль оси х. Тогда y(t) = 0, г = [я| и (li), (2j)
перепишутся в виде
Так как масса, покоящаяся в начале оси х, притягивает движущуюся частицу
с силой, увеличивающейся с уменьшением | х |, то и без интегрирования
уравнения (21) сразу видно, что каждое решение х = x(t) этого уравнения
должно стремиться к нулю с приближением t к некоторому конечному to.
Таким образом, движение сопровождается всегда столкновением двух тел.
