Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
"=Scj(s)4- (5°)
;=0 ]ш
где
§ 286. Разложение, о котором говорится в пункте (?), представляется
формулой (22i). В силу (18i) можно переписать эту формулу ч виде
ц=? + 2^] sinm?, (51)
"=1 т
так как согласно (17Д и (172)
(- l)m/_m(z) = /m(z) - (- l)m/m(- z) .
§§ 285-298. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
259
Из (44i) и (3) или же непосредственно на основании теории рядов Фурье
можно сделать вывод, что ряд (51) сходится равномерно по ? при -оо < ? <
оо и фиксированном значении эксцентриситета "(<!)¦
Вопрос о сходимости разложения, упоминаемого в пункте (ii), гораздо более
сложен. Действительно, в этом случае мы имеем дело со степенным рядом по
е (50), и вопрос о его сходимости решается, в отличие от случая ряда
(51), исследованием особых точек аналитической функции и = и(е, ?) в поле
комплексных значений е при произвольных фиксированных вещественных
значениях ? (именно по этой причине потребуется рассматривать формулы,
приводившиеся в § 284, также при комплексных значениях z-e). Кроме того,
коэффициенты степенного ряда (50) зависят от ?. Поэтому радиус
сходимостир этого ряда является функцией р (?) вещественной угловой
переменной ?. Правда, достаточно исследовать функцию р (?) при 0 ^ ? ^ л
/ 2, так как ввиду симметрии эллиптического движения по отношению к обеим
осям декартовых координат имеем
Р(0- Р(5 + я)= р(-5) (- оо < ? < + оо). (52)
В §§ 287-288 будет показано, что
Р(?)^Р* (53t)
при -оо < ? < оо и что
Согласно (530 - (532) функция (52) имеет минимум, равный
(49). Следовательно, в то время как ряд (51) сходится при любом ?и0<е<1
(и даже в предельном случае е - 1 периодических столкновений), ряд (50)
можно использовать при всех значениях переменной ?, если только е
заключено в пределах между 0 и р* = = 0,6627 ... Последняя постоянная
значительно меньше единицы. Правда, в большинстве конкретных
астрономических задач е достаточно близко к 0.
§ 287. С целью доказать (53i) обозначим через о некоторое положительное
число, меньшее чем р*. В силу (48) имеем неравенство \g (ia) | < 1.
Следовательно, в силу (46i) существует такое положительное 0 < 1, что
| Jm(ima) | < const ¦ Qm.
Поскольку из (47г) и (172) вытекает, что
\Jm(mz) | < \]m(ima) \
17*
260
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЯ
при |z| <0, ТО
|/m(mz) | < const ¦ 0m
в круге \z \ < а. Так как 0 < 0 < 1, то ясно, что если ? имеет
фиксированное вещественное значение, то ряд
и = u(z, ?)= ? + 2 ^ ¦ sin ml, (54)
m=i m
сходится равномерно в круге \z\ < а на комплексной плоскости (z). Вместе
с тем функции Jm(mz), тп = 1, 2, ..., являются аналитическими на всей
плоскости (z), поскольку таковы согласно (17г) функции Jm(z).
Следовательно, ряд (54) сходится при любом фиксированном вещественном ? к
аналитической функции z в круге |z| < а. Функцию, представимую рядом
(54), можно также разложить в степенной ряд
"*(*,"= 2-^-^ (55)
причем это разложение имеет место в круге |z| < а при любом фиксированном
вещественном ?¦ Так как а - любое положительное число, меньшее р*, и так
как при z = е формулы (54), (55) совпадают с (50), (51), то
доказательство неравенства (53j) мож по считать законченным.
§ 288. Остается доказать формулу (532), которая показывает, что число р*
не может быть заменено в (53i) меньшим числом, если допустимы все
значения угловой переменной (72).
Прежде всего заметим, что если е - фиксированное положительное число, то
оба ряда
" ( l)m/2m+i(i(2rn + 1) е)
"I- 2" + 1,---------------------' <5б1)
у у {т + 1/2)2"НД"+1 е2т+2П+1
1^0^=0nl(2m + n+\)\{2m+i)
или расходятся к +оо, или же сходятся к одному и тому же положительному
числу. Этот вывод можно сделать на основании разложения (472),
справедливого при любом |z|, из которого следует неравенство
i ¦ (- l)m/2m+i(i(2rn + i)e) = |/2m+1(i(2rn + l)e) | > 0. (57)
Так как е > 0, то члены рядов (56i) и (562) положительны и их можно
расположить в произвольном порядке. По этой причине
§§ 285-298. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА
261
можно записать ряд (56г) после перегруппировки членов в виде обычного
степенного ряда по е
ОО
2 ane2n+i (ап = const > 0), (58)
71=0
так что три ряда (56i), (56г), (58) с положительными членами все
расходятся к + оо при фиксированном е > 0 или же все сходятся к одному и
тому же числу. Так как формулы (46i), (48) и (57) показывают, что ряд
(56t) сходится при е < р* и расходится при е > р*, то это имеет место
также и для ряда (58). Однако функция, представленная рядом (56i), равна
в силу (54)
1 / . я \ я
~ - ,- )-~2'
Следовательно, ряд (55) совпадает при ? = я / 2 с рядом (58), если
положить в первом z= ei. Так как степенной ряд (58) сходится при е < р* и
расходится при е > р* и так как радиус сходимости ряда (55) при ? = я/2
равен р(я/2) по определению, то доказательство формулы (53г) можно
считать законченным *).
§ 289. Выражения для коэффициентов с; (?) ряда (50) (или (55)) в явном
виде могут быть получены с помощью правила дифференцирования Лагранжа.
