Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 100

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 202 >> Следующая

функций комплексного переменного, послужило его желание провести
удовлетворительный анализ именно ряда Лагранжа.
Коши пришел к фундаментальной теореме, связывающей радиус сходимости с
расположением ближайшей особой точки, а также к своему принципу максимума
именно в статье, где рассматривались соотношения (53,) - ¦ (532). Такие
факты, которые сейчас известны как принцип аргумента и теорема Руше,
также были обнаружены в связи с проблемами, возникшими при исследовании
уравнения Кеплера.
264
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
§ 292. Следует упомянуть, что решение уравнения Кеплера (7з) сводится к
нахождению обратной функции. Действительно, если положить
/(ц,?)= U~l , (66)
sin и
то уравнение (7з) можно записать в виде
" = /(". ?)¦
Следовательно, определение функции и = и(е, ?) равносильно нахождению
функции, обратной по отношению к мероморфной функции (66) переменной и
при любом фиксированном вещественном ?¦ Разумеется (см. § 291), требуется
определить ту ветвь обратной функции и - и(е, ?), для которой и(0, ?) =
?. Последнее условие необходимо, так как мероморфная функция (66)
трансцендентна и риманова поверхность для ее обращения имеет при любом
фиксированном ? бесконечно много листов. В соответствии со сказанным
число р (?) в (53i) равно расстоянию между е - 0 и ближайшей особой
точкой функции и = zz(e, ?) на том листе римановой поверхности, на
котором числитель в (66) обращается при е = 0 в нуль.
Конечные особые точки функции, обратной по отношению к мероморфной
функции, являются, как известно, либо алгебраическими точками
разветвления, либо трансцендентными особыми точками. Первые определяются
по нулям производной, а вторые - по асимптотическим значениям мероморфной
функции*).
В стандартном доказательстве (53i) - (53г), приводимом обычно в учебниках
и следующем пути, указанному в § 291, учитываются только нули производной
функции (66) переменной и (при фиксированном вещественном ?)• Поэтому это
доказательство нельзя считать полным **).
§ 293. Однако такое доказательство легко исправить, поскольку
оказывается, что асимптотические значения не играют в данном случае
никакой роли. Действительно, целая функция sin и переменной и не имеет
конечного асимптотического значения (при любом фиксированном ?).
Следовательно, обратная функция и - и(е, ?) по отношению к функции е = /
(гг, ?) не может иметь
*) Например, для обратной функции по отношению к w = ехр г точка w = 0
является особой точкой логарифмического типа, соответствующей
единственному асимптотическому значению w - 0 функции ехр z.
**) В дополнение к примечанию в § 291 следует упомянуть, что этот
недостаток в доказательстве условий (53i)- (532) был замечен Гурвицем
когда он разрабатывал теорию асимптотических значений.
§§ 285-298. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТЕПЕНЯМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА 265
трансцендентной особой точки при конечном е, отличном от нуля.
Трансцендентная же особая точка при е = 0 не может принадлежать
интересующему нас листу римановой поверхности для и - = и(е, Б),
поскольку на этом листе функция и(е, Б) аналитическая в точке е = 0.
Таким образом, доказательство условий (53i) - (53г) может быть основано
лишь на анализе алгебраических особых точек функции и = и(е, Б).
Разумеется, эти особые точки должны выбираться на соответствующем листе.
§ 294. Остановимся опять на методе, указанном в §§ 284-289. Пусть
комплексная переменная z опять ограничена неравенством \z\ < 1; определим
величину g по формуле (12), так что
zexp(l - z2)7j
8 ^ 1-Hl-z2)1/' =
_ Иехр {opt 4~( 1 [ z[2 ехр 2фг) У")
1 + (1- | z |2 exp 2фч) i/j
где z = \z \ exp rfi и, разумеется, (1 - z2)'1* = 1 при z = 0. Мы
используем тот факт, что наряду с (46г) имеет место неравенство *)
|/m(mz)|^[^(z)[Tn. (68)
Непосредственный анализ элементарной функции (67) показывает, что два
условия
|^(7?ехрфг) |=? 1, (йГ((zfexp-фг) | < 1, (69)
если | z | <7?, определяют единственным образом непрерывную функцию R
угловой переменной тр. Эта функция обладает свойством
7?(ф) = 7?(ф + л) = 7?(- ф) (- оо < т|з < -f оо) (70) Кроме того,
Д(ф,)>Д(ф2), (71)
если 0 < -ф! < \|э2 ^ '/гл.
Из (48) и (69) вытекает, что 7?(л/2) = р*, а (3) показывает, что 7? (я(з)
-*¦1 при тр->0. Следовательно, из (70) и (71) видно, что если через Г
обозначить кривую z = 7?(\|э) exprfi на комплексной плоскости z = | z |
expijji, то область, ограничиваемая Г,
*) Оно выводится в теории бесселевых функций и носит названий неравенства
Калтейна.
266
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
имеет вид бисимметричной выпуклой линзы, находящейся в кольце между
окружностями с радиусами 1 и р*. Эта кривая
характеризуется также тем, что
|*(*) I = 1 (72)
на Г и
\g(z) | < 1 (72,)
внутри Г.
Точки заострения кривой Г, лежащие на вещественной оси (рис. 9),
соответствуют алгебраическим точкам разветвления z = = ±1 функции (67).
§ 295. Из сказанного выше следует, Рис. 9. что решение u = u(z, ?)
уравне-
ния Кеплера (7з), причем z = е и и (0, ?) = ?, является аналитическим при
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed