Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотренным Якоби при разработке теории сопряженных точек. Термин
"сопряженная точка" в вариационном исчислении и возник именно при анализе
этого примера, поскольку в нем такие точки являются сопря-жепными в
соответствии с теорией конических сечений (см. рис. 5).
Аналогичным образом, ломаная экстремаль на рис. 7, указанная Тод-
гунтером, является, по-видимому, самым первым примером разрывпого решения
в вариационном исчислении.
230
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
муму до тех пор, пока точка Р лежит между Ро и Ро*, а положительное
направление вдоль эллипса соответствует движению от Р к Р0* и затем к
Р0'* (см. рис. 5). Если же рассматривать точку Р, расположенную справа от
Ро* (см. рис. 5), то положительно ориентированная дуга РоР эллипса С не
будет, уже соответствовать минимуму (даже слабому). Наконец, предельный
промежуточный случай Р = Ро требует непосредственного анализа и
соответствует совпадению обоих эллипсов С и С'. Точка Р лежит тогда на
Ек{Ро) (см. § 252).
Исключая этот предельный случай и рассматривая сразу оба эллипса, имеющие
общую дугу РоР, увидим, что всех возможных случаев оказывается четыре.
Они нмеют место в зависимости от того, заключает в себе эллиптический
сегмент, стягиваемый дугой РоР, оба фокуса, один фокус или ни одного. Эти
четыре случая совпадают с теми, которые получаются при комбинировании
знаков (+) в формуле (15з) и замены и на и* = 2я - и в этой формуле.
§ 254. В § 253 предполагалось, что точки Ро и Р могут быть соединены по
крайней мере одной интегральной кривой с постоянной энергии h (и,
конечно, не более чем двумя).
В соответствии с изложенным в § 252 это будет иметь место тогда и только
тогда, когда точка Р лежит внутри или на Ен (Р0). Следовательно, задача
бРК = 0 не будет обладать регулярной экстремалью, если Р находится вне
Eh(P0). В этом случае абсолютный сильный минимум функции (18) достигается
на ломаной экстремали PoQoQP, представляемой на рис. 7 отрезками P0Qo и
QP радиусов OQ0 и OQ вместе с дугой Q0Q направляющей окружности (16), т.
е. кривой нулевой скорости. Это обнаруживается при проверке того факта,
что обычные достаточные условия для экстремали, дающей абсолютный сильный
минимум, удовлетворяются по крайней мере тогда, когда точка О не лежит на
прямой, соединяющей точки Ро и Р (выбираемые, конечно, внутри Dh). Эта
ломаная экстремаль существует и тогда, когда Р находится внутри или на Eh
(Ро), т. е. когда существует также и гладкая экстремаль (см. § 253).
Заметим, что отрезки PoQo и QP радиусов окружности Dh являются также
согласно изложенному в § 243 гладкими экстремалями функции (18), а в
угловых точках Qa, Q ломаной экстрема-
§§ 241-257. ОРБИТЫ
231
ли Q$ (рис. 7) удовлетворяются хорошо известные условия Рейерштрасса -
Эрдманна. Наконец, дуга окружности QoQ ничего не прибавляет к интегралу
(18), так как функция U + h = eh (г-1 + К) в подынтегральном выражении
обращается вдоль этой дуги в силу (22) в нуль.
§ 255. Выше был рассмотрен только эллиптический случай h < 0. Если h ^ 0,
то в силу последнего замечания в § 244 можно как будто ожидать, что
интегральная кривая с постоянной энергии h обеспечивает собственный
сильный минимум функции (18) при произвольном расстоянии РоР вдоль этой
кривой. Однако это не имеет места, поскольку оказывается, что так же, как
и в § 253, приходится выбирать между двумя коническими сечениями и при h
^ 0.
Как мы увидим ниже, фактическое упрощение при h ^ (J сводится к тому, что
то положение (см. § 254), когда точки Ро и Р не могут быть соединены
одной интегральной кривой с постоянной энергии h, возникает лишь при h <
0. В соответствии с этим при Л ^ 0 не существует кривой нулевой скорости
(см. §§ 243-254).
§ 256. Рассмотрим сначала случай h > 0. Согласно изложенному в § 242
семейство 2д всех интегральных кривых с постоянной энергии h состоит из
тех гипербол на плоскости (х, у), которые имеют фокус в начале координат
О и обладают вещественной осью, равной -2а = Л-1. Вместе с тем
направление вещественной оси этих гипербол и значение эксцентриситета
произвольны. Разумеется, под гиперболой с фокусом в О подразумевается та
ветвь гиперболы, которая обращена вогнутостью к О, а полупрямые,
выходящие из О, должны рассматриваться как гиперболы с минимальным
эксцентриситетом е - 1. Геометрическое описание, приведенное в § 252,
может быть приспособлено и к данному случаю.
Пусть даны на плоскости (х, у) две различные точки Р0 и Р (не совпадающие
также с О). Обозначим через BR окружность с центром в R и радиусом -2а +
OR, причем R - одна из двух точек Ро, Р. Так как -2а = hr1 > 0, то сумма
двух радиус-векторов -2а + ОР0, -2а + ОР превосходит расстояние РоР и,
следовательно, окружности ВР", ВР всегда пересекаются в двух различных
точках, например F и F'. Поэтому из определений гиперболы и семейства 2/,
вытекает, что для любой пары точек Р0, Р существуют две и только две
интегральные кривые с постоянной энергии h, например С и С', соединяющие
