Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Ро с Р. При этом F и F' - пустые фокусы гипербол С и С' соответственно.
Если через I обозначить общую хорду РоР гипербол С ж С' и если исключить
предельный случай коллинеарности точек О, Р0) Р, то эта
232
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
хорда пересекает вещественную ось одной гиперболы, например С, между
фокусами О и F; в то же время вещественная ось гиперболы С' пересекается
хордой I так, что оба фокуса О и F лежат по одну сторону от I.
Рассматривая в данном случае вопрос о построении интегральных кривых с
постоянной энергии h, проходящих через Р0 (см. §§ 252-253), можно сделать
вывод, что на дуге PJP гиперболы С нет точек, сопряженных с Р. В то же
время для гиперболы С' внутренняя или конечная точки дуги РоР сопряжена с
Ро. В первом случае хорда I = РоР не проходит, а во втором случае
проходит через общий фокус О гипербол С и С.
В соответствии со сказанным две точки Ро, Р на плоскости (х, у) всегда
могут быть соединены отрезком дуги РоР интегральной кривой С с заданной
постоянной энергии h > О, причем интеграл (18) достигает вдоль этого
отрезка собственного сильного минимума. В то же время отрезок дуги РоР
интегральной кривой С' не соответствует даже слабому минимуму интеграла
(18) (по крайней мере, если хорда I - РоО не проходит через О; этот же
предельный случай аналогичен рассмотренному в §§ 252-253, когда точка Р
лежит на Eh(Po) и он требует непосредственного анализа).
Так как I пересекает вещественные оси гипербол С и С' между фокусами О, F
и вне фокусов О, F' соответственно, то два отрезка (Ро, Р), (Ро, Р)
интегральных кривых в данной экстремальной проблеме соответствуют двум
знакам в (15z).
§ 257. Оставшийся случай h = 0 можно было бы рассматривать как предельный
для сложного эллиптического (§ 253) или для гиперболического (§ 256).
Однако представляется предпочтительным провести анализ непосредственно
следующим образом.
В соответствии с изложенным в § 242 семейство So всех интегральных кривых
с постоянной энергии h - 0 состоит из тех парабол, фокус которых
совпадает с началом координат О на плоскости (х, у), а директрисы суть
прямые произвольного направления и находящиеся на произвольном расстоянии
р от О. Разумеется, полупрямые, начинающиеся в О, следует рассматривать
как параболы с параметром р = 0.
Пусть даны на плоскости (х, у) две различные точки Р0, Р, не совпадающие
с О. Обозначим через Br(R = Р0 или R = Р) окружность, проходящую через О
и с центром в R. Через Т к Т' обозначим две общие касательные,
проведенные к окружностям ВР", ВР, а через N и N' - прямые, проходящие
через О и перпендикулярные к Т и Т' соответственно. Из определения
параболы и из приведенного выше определения So видно, что прямые N и N' и
только эти прямые являются осями, а прямые Г и Г - директрисами па-
§§ 241-257. ОРБИТЫ
233
рабол, представляющих собой интегральные кривые, проходящие через обе
точки Р, Ро. Если обозначить через С я С' эти две параболы, то С = С'
тогда и только тогда, когда Т = Т', т. е. когда точки О, Ро, Р
коллинеарны. Исключая этот предельный случай, увидим, что общая хорда I =
РоР парабол С к С' пересекает ось одной из двух парабол, например С,
располагаясь по ту же сторону от фокуса, что и директриса Т параболы С.
Окончательные соображения и результат те же, что и в гиперболическом
случае (см. § 256).
Очевидно, что двойной знак в (15i) соответствует двум возможным
вариантам, представимым отрезками (Ро, Р), (Ро, Р) двух парабол С и С'.
АНОМАЛИИ
§ 258. Согласно изложенному в § 241 интегрирование уравнений [L]x = О,
[L]у - 0, где
L = \,(x'2 + y'i)-~, (1,)
^ г
т. е. уравнений
у" + уг* = о } ( 2)
в смысле построения орбит на плоскости (х, у), но не определения
зависимости х, у от t, может быть достигнуто с помощью интегралов
(х'2 + У'г) r_1 = h, .(2,)
ху' - ух' = с (2г)
без выполнения фактических квадратур (см. § 218а). Этот факт,
весьма важный для определения орбит, не имеет места, если
за-
менить закон Ньютона U - г-1 произвольным законом U = r~k. Если орбита,
выраженная с помощью постоянных интегрирования (4) § 241, известна, то
промежуток времени, разделяющий два положения на орбите, определяется с
помощью формул (15i) - (15,) § 249.
Однако все это уводит нас от вопроса о построении общего решения
уравнения (lt). Действительно, определение координат х, у как функций
времени для данной совокупности постоянных интегрирования связано с
весьма неприятным процессом исключения соответствующих переменных из
формул, приведенных в §§ 241, 249. По этой причине будем теперь
рассматривать х, у
234 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
непосредственно как функции времени и постоянных интегрирования.
§ 259. С этой целью можно применить преобразование, указанное в § 230.
Положим z = ?2, так что | z^ |2 = 4 (?2 + ц2) и
x = l2 - rf, у=2%г\, (30
i = 4 (g2 + Л2) = 4 (z2 + У2)v* = 4 г, (32)
где точкой обозначается дифференцирование по новой независимой переменной
t. Так как |zj[2/r = 4, то, сопоставляя (120 - (12г) § 230 с (1г) § 258,
