Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
обратное круговое движение радиуса а (0 < а < +°о) является также
синодически обратным и что сидерически прямое круговое движение будет
синодически прямым, если 0 < а < 1, и синодически обратным, если 1 < а <
оо. Наконец, сидерически прямое круговое движение с радиусом а - 1
соответствует единственной точке х - cos и, у = sin ш в синодической
системе координат, причем со - произвольная постоянная. Действительно,
если а = Уа = +1, то в силу (lli) и = 1. Таким образом, угловая скорость
сидерического кругового движения постоянна и равна 1 и, следовательно,
после преобразования (4) мы получим, что в синодической системе координат
тело находится в покое (см. (4а) §302).
§ 305. Рассмотрим вопрос о периодичности синодического движения. С этой
точки зрения случай 0 < е < 1 полностью отличается от кругового случая е
= 0.
Исключим сначала случай е = 0. Тогда, заметив, что период вращения
синодической системы координат равен 2л, можем сделать вывод, что если
постоянная п - рациональное число, то синодическая траектория x = x(t), y
= y{t) через промежуток времени, содержащий достаточно много сидерических
периодов (9г), замкнется сама собой.
В случае же иррационального п эта траектория не будет замкнутой. Она
будет заполнять при -оо < t < оо (соображения те же, что и в § 215) всюду
плотно круг с центром в (х, у) = (0, 0) и радиусом, равным maxr(t) = а(l-
f-е). Для рационального п, например для п = р / q, где р, q - взаимно
простые числа, синодическая траектория замыкается после |р| сидерических
периодов (но не раныпе). Действительно, из (4) и (92) видно, что если
через т обозначить наименьший синодический период, то
±x = pT=2nq, (12)
где п = р : q, (p,q) = 1, (ефО).
В частности, наименьшие сидерический и синодический периоды Т и т равны
между собой лишь в том случае, когда Т делится на период 2л вращения
системы координат (х, у), т. е. когда п равно 11 q, где q - некоторое
целое число.
§§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 273
§ 306. В § 307 будет показано, что в круговом случае имеет место совсем
иная картина, так как тогда синодическое движение является периодическим
с наименьшим периодом
= (13)
га - 1
как при рациональном, так и при иррациональном га.
Заметим, что (13) отличается от (12), если период т существует, т. е.
если га - рациональное. Действительно, тогда (13) можно переписать в виде
т- ^, (13а)
p-q
где га = р : q, (р, q) = 1 (е = 0). Таким образом, если га,
соответствующее формуле (lli), имеет фиксированное рациональное значение
и если е варьируется, то период (12) не зависит от е(^= 0) и,
следовательно, совпадает с limx при е-"-'0. Вместе с тем формулы (12) и
(13а) показывают, что этот предел т некругового синодического
(наименьшего) периода оказывается равным не наименьшему синодическому
периоду т* кругового движения, а некоторой кратности т*, а именно (р -
<?)х\ (Это отсутствие непрерывной зависимости приобретает важное значение
в теории периодических решений ограниченной задачи трех тел.)
Представляют интерес те частные значения п = р : q, для которых такая
потеря непрерывности не происходит, т. е. для которых р - Я - 1- Такие
значения п - а~3 = Уа-3, равные и = р : (р -J- 1), р = 1, 2, ... и р -2,
-3, ..., будем рассматривать как критические. Заметим, что из условия р -
q = 1, при котором limx = -х\ получим те же самые критические значения
га.
Мы молча предполагали, что n=f= 1, так как при га = 1 формула (13) теряет
смысл. Случай, когда га - 1, упоминался выше в конце § 304. В этом случае
синодическое круговое движение вырождается в точку равновесия, так что
его период произволен.
§ 307. Для того чтобы доказать формулу (13) для рационального и
иррационального га, заметим, что круговое сидерическое движение x = x(t),
у = у(t) представляет собой равномерное движение с угловой скоростью га,
и при соответствующем выборе начала отсчета t имеем х = a cos nt, у = a
sin nt. Синодическое движение представится согласно (4) формулами
cos (га-1 )t, у = a sin (га - 1 )t.
18 А. Уинтнер
274
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Из этих формул вытекает (13), а также факт вырождения в точку равновесия
при п = 1.
Целесообразно переписать (13) в виде т* = 2ят, причем
ш=-Ц- (140
п - 1
и в-силу (110, (Из), где е = 0, гг Ф 1,
т,/з
°-1'"=7нл^Г. <14г>
1 + 3 ш
С~-^(Г+^- (14,)
Б исключительном случае п = 1 из (110, (Из) следует, что
а = Уа=1, С= 3 (е = 0). (15)
Заметим, что число т. будет рациональным тогда и только тогда, когда
таковым является п, и что т. - целое (ф 0) тогда и только тогда, когда
п - критическое (см. § 306). Это вытекает из (14Ц.
§ 308. Если значение сидерической постоянной энергии А(<0)
задано, то существует два и только два случая круговых
движений, соответствующих этому h. Действительно, тогда мы
опреде-
лим на основании (10z) однозначно а у а ^ 0, а сидерический период
определится согласно (lli) - (Иг). Картина становится более сложной, если
будем рассматривать всевозможные значения а(^=0) от - оо до +оо в
