Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 105

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 202 >> Следующая

справедливым и при е = 1. Результаты, изложенные в § 305, остаются
справедливыми и во втором случае, так как при га иррациональном
траектория (22) заполняет всюду плотно круг х2 + у2 = (2а)2.
§ 311. Апериодичность синодической траектории в случае иррационального га
не противоречит тому факту, что эта траектория проходит через одну и ту
же точку (х, у) = (0, 0) бесконечно много раз (а именно при и = 0, ±2л,
...). Все становится вполне понятным, если ввести синодические полярные
координаты г, 0. Действительно, тогда можно записать формулы (22) в виде
Если независимая переменная и получает приращение, равное целой кратности
2л, например 2лр, то из (23) видно, что г не изменяется, а 0 уменьшается
на 2лpa3/j. Формулы же (20з), (21i) показывают, что это уменьшение
синодического полярного угла 0 будет равно целой кратности 2л лишь тогда,
когда п=р : q и q - некоторое целое число. Следовательно, среди значений
х = -2a sin2 - и cos (а3% - a3/j sin и), 2
1
у - 2а sin2 - и sin (а'1ги - a3/j sin и),
2
(22)
(23)
где
278
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
и = О, ±2я, ... найдется или не найдется такое значение, при котором
синодическая траектория покидает начало координат (х, у) = (0, 0) в том
же направлении (mod 2я), по которому она сюда пришла при этом же и, в
зависимости от того, является п рациональным или иррациональным.
Если п рациональное, например п - р : q, (р, q) = 1, то лишь некоторые
(но не все) значения и = 0, ±2я, ... таковы, что угол
0 остается неизменным (mod 2л) при прохождении траектории через начало
координат. Действительно, 0 остается неизменным (тоб2я) при каждом таком
прохождении только тогда, когда изменение 0, соответствующее приращению и
на 2я, окажется равным целой кратности 2я, например 2яд. В силу (23) это
будет тогда и только тогда, когда 2яа'/з = 2яд, т. е. если (см. (20з))
1 / п = q.
В соответствии со сказанным входящая и выходящая ветви синодической
траектории (22) касаются друг друга в моменты
Рис. 11.
всех столкновений тогда и только тогда, когда п равно обратной величине
некоторого целого числа q. Такие п соответствуют в силу (203) дискретным
значениям
C-i = a=q\ q~ 1,2,..., (24)
произвольной постоянной интегрирования (21 г), определяющей единственным
образом ограниченное прямолинейное движение. Синодические траектории (22)
при g = 1, q - 2, q = 3 показаны на рис. 11а, б, в соответственно *).
§ 311а. В §§ 301-311 был рассмотрен лишь эллиптический случай h < 0.
Однако путем подстановки в (4) сидерических координат х, у
гиперболического или параболического движения мож-
*) Из (24) видно, что эти три рисунка имеют различные масштабы
расстояний.
S§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
279
но провести анализ синодических траекторий при h > 0 или h ='0, в том
числе предельный случай прямолинейных траекторий (с = 0).
§ 312. Если значение сидерической постоянной энергии h задано, то
соотношение (1а) определяет цри h < 0 (но не при h ^ 0) кривую нулевой
скорости. Движение происходит в этом случае вне круга с центром (ж, у) =
(0, 0) и радиусом - А-1 (см. § 243). Соответствующий анализ соотношения
(7Д, представляющего собой синодическую аналогию (12), несколько более
сложен, и он может быть проведен следующим образом.
Из (7i) видно, что в любой точке (х, у) какой-либо синодической
траектории (72) имеем г2 + 2г-1 ^ С. Соотношение же
г> + -=С )
г
представляет собой уравнение кривой нулевой скорости (синодической). Эта
кривая распадается на столько окружностей с центром в начале координат
(ж, у) - (0, 0), сколько различных положительных корней имеет уравнение
(25). Если положить а - 1 /г, то это уравнение запишется в виде (182). В
§ 309 бьтло показано, что уравнение (18j) не имеет положительных корней,
если - оо < С < 3, имеет двойной положительный корень а = 1, если С - 3,
и имеет именно два положительных корня ,а+_- а+{С), "+ = а +(С), а+ < 1 <
а+, если 3 < С < +°°.
Таким образом, кривая синодической нулевой скорости, соответствующая
заданному значению С, или не существует (если С < 3), или же состоит из
двух концентрических окружностей (если 0 3). Радиусы этих окружцостей
равны 1 / а+ и 1 /а+, причем 1 / а+ < 1 < 1 / а+. При С - 3 обе эти
..окружности сливаются в одну окружность с радиусом, равным единице.
Вместе с тем область на плоскости (ж, у), запрещенная в силу соотношения
(7Д, т. е. область, где неравенство г2 + не
выполняется, состоит при С > 3 из кольца
<. (ж2 + у2) 7" < -, а+ а+
вырождающегося при С = 3 в окружность ж2 + у2 = 1 (и исчезающего при С <
3). Это вытекает из того, что при произвольном фиксированном С условие
7* + -^С (26)
г
удовлетворяется при положительных г, близких к 0 или +оо, так
А, А. А, А,
I ? II 8 0<"<1 1 < а < + оо -оо<а< - 1 - 1 < 01 <о
II а_, а+ или а+ а = а+ а = а+ а = а_ а = а_
III С = 2а + а-* оо>С>3 3<С<+оо - оо С - 1 -1<С< + оо
IV Радиус окружности нулевой скорости (синодической) 0<1/а+< 1 1
<!/"+<+ 00 Не существует 1 > 1/а+ > 0, если 3<С< + оо; не существует,
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed