Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
зависимости не от сидерической постоянной энергии А, а от синодической
постоянной, равной - 7гС согласно (7i) - (7z). Мы получим тогда не
простое соответствие 1 к 2, а такое, которое можно описать следующим
образом.
Исключим сначала не имеющий смысла случай а = 0 (дви-жейие по кругу с
нулевым радиусом а - а2), а также исключительный случай а = 1. Тогда эти
исключенные значения а = 0, а = 1 разбивают весь бесконечный интервал -оо
< а < -f- оо значений а для круговых траекторий на три интервала:
- оо < а < 0, (164)
0 < а < 1, (16я)
1 < а < + оо, (16я) причем интервал (16i) соответствует сидерическим
обратным кру-
§§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
275
говым движениям, а интервалы (16г), (163) -сидерическим прямым движениям.
Соответствующие интервалы изменения С таковы:
- оо < С < + оо, (17t)
+ 00 > С > 3, (172)
3 < С < + оо, (17з)
причем соответствие между интервалами (16v) и (17v) взаимно однозначное
при любом v = 1, 2, 3 и неравенства (17v) выписаны так, что они указывают
на возрастание или убывание функции С - С(а) в интервале (16v), v = 1, 2,
3. Например, (162), (163) и (17а), (17з) показывают, что С стремится к 3,
если а стремится к исключительному значению (15), как возрастая, так и
убывая. Кроме того, из (16j) и (17i) следует, что значение С=3
соответствует также и не исключительному значению а(<0). Кстати,
последнее равно а = -'/г, так как, исключая т в (142)- (143), получим,
что
С (а) - 2а -f- а"2
(см. (113) при С = 0).
Производная функции С (а) по а равна 2(1 -а-3). Следовательно, эта
функция монотонно возрастает в интервалах (16i), (I63) и монотонно
убывает в интервале (162). Так как С(±оо) = = -f-oo, С(±0) - ±°о,
С(1 ± 0) =3, то поведение функции
С (а), выражаемое неравенством (17j) - (173), полностью под-
тверждается.
§ 309. Так как значение а = 0 исключено, то формулу для С можно
переписать в виде кубического уравнения относительно а или 1 / а:
2а3 - Саг +1 = 0 (18,)
или
/ 1 \3 1
(- -С-- + 2=0. (18*)
\ а / а
Из (16i) - (17з) следует, что уравнение (18,)
(Z) имеет один и только один отрицательный корень
а - а -(С), - оо < С < -f-oo;
(ii) не имеет положительных корней при С < 3 и имеет два различных
положительных корня а+ = а+(С), а+ = а+ (С)
при С > 3, причем сц. < 1 < а+ при С >¦ 3 и а+->-
1 - 0,
а+ ->-1 -f- 0 при С ->- 3 -f- 0.
18*
276 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Дискриминант кубического уравнения (182) равен - 4(- С)3 - 27 ¦ 22
или
4 (С3 - З3),
и он >0, =0 или <0, если С > 3, С = 3 или С < 3
соответственно. Таким образом, (i) - (ii) следует не только из
(16i) - (17з),
но и непосредственно из (182) или (184).
Выпишем также следующие неравенства, на которые будем ссылаться ниже:
2 2 2 1 г1 I
о_<сц, , сц<-,
сц а+ > (19)
(С > 3; а_ < 0 < сц < 1 < а+). J
Эти неравенства легко получить, если непосредственно или с помощью
дифференцирования (18i) - (182) использовать (16f) - (17з) и определения
(i) - (ii) корней сц., а+, а_ при С > 3 *).
§ 310. Рассмотрим теперь предельный случай с = 0 (е = 1) сидерического
эллиптического движения при произвольной большой оси 2а.
Согласно изложенному в § 268 это прямолинейное сидерическое движение
может быть представлено с помощью следующих формул:
x = a(cosu- 1), у = 0, (20i)
и - sin и
t =---------- , (20а)
пга3 = 1, (203)
где и - эксцентрическая аномалия. Знак постоянной га, т. е. направление
сидерического движения, остается при этом неопределенным.
Исходя из (8t) - (13з) и полагая с = 0, получим фор-
мулы
ТЧг* = 4л2, (210
1
_ = -2h = С > 0. (212)
*) Например, первое из неравенств (19), конечно, справедливо при
значениях С > 3, достаточно близких к С = 3, поскольку а_ (3) = - '/г,
а+(3) = 1 согласно (18,). Если неравенство а_2 < а+2 не было бы
справедливым при всех С >¦ 3, то в силу непрерывности существовало бы
такое С = Со, что <х_2(Со) = сц2(С0). Однако тогда мы имели бы в силу
(18i) равенство а_э(С0) = а+3(С0), что невозможно, поскольку а_ < 0 < а+.
§§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
277
В соответствии с (20i) - (21i) период Т для такого движения равен
промежутку времени между двумя последовательными столкновениями
движущегося тела с центральным, находящимся в начале координат (х,у) -
(0,0) (см. §§ 268-270).
Подстановка (20i) - (203) в (4) показывает, что синодическая траектория
описывается формулами
где вспомогательная переменная и изменяется от - оо до +°°-Согласно (22)
столкновения (т. е. моменты, когда х2 + у2 - 0) имеют место при
равноотстоящих друг от друга значениях гг = 0, ±2я, ... Тем не менее
синодическая траектория не будет в общем случае замкнутой. Действительно,
из (22) следует, что траектория (х, у) будет замкнутой (имеющей,
возможно, достаточно большое количество "петель" или "циклов"), если
постоянная и = a_3/j - рациональное число, и не будет замкнутой, если га
- иррациональное число. В первом случае из (20з), (21t) и (22) следует,
что соотношение (12), выводимое непосредственно при 0 < е < 1, остается
