Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
А г
ху' - ух'=с, (1з)
*) Формальное совпадение (50) и (51) было замечено Лагранжем, который
следовал противоположным путем. Действительно, Лагранж (см. примечание в
§ 291) сначала нашел степенной ряд (50), а затем его формально
преобразовал с помощью (62) в ряд Фурье (51), придя таким образом к
трансцендентным функциям (17г), носящим сейчас название функций Бесселя
(см. в конце § 277).
§§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 269
где h 0 0, с 0 0 и г - (х2 + у2)'1*- Формулы же (15i) - (15з) § 263
примут вид
х = г cos(m + ш), у = г sin(u; + ш), (20
со = (w) (=го, (minr(0== (/¦)<=<"). (2г)
Функция Гамильтона, соответствующая функции Лагранжа (li),
равна
tf = y(*2 + F2)-y, (30
где
7 * = х2 + у\ X = x\Y=y'. (32)
Введем вместо системы прямоугольных координат (х, у) другую систему (х,
у), вращающуюся вокруг начала (х, у) = (0, 0) с постоянной угловой
скоростью -1, так что
х = х cos t - у sin f, '|
- г (^)
у = x sin t + у cos t. J
По причинам, которые будут ясны ниже (см. § 517), вращающуюся систему
координат (х, у) назовем синодической, а невра-щающуюся систему (х, у) -
сидерической.
Согласно изложенному в § 95, функция Лагранжа в переменных х, у
выразится, как это легко видеть, если использовать (4), формулой
L = у (*'2 + у'2) + (ху' - ух1) + (.1 + у г*), (50
где
(52)
В силу изложенного в § 229 функция Гамильтона, соответствующая (50, равна
Я = у(Х*+У*)-(хУ-УХ)-^ + уГ>), (60
где
Х=х'-1/, Y=y' + x. (62)
Подстановка (4) в (12) -¦ (1з) приводит далее к формулам
(*'2 +/2)-(у+ г>)=-С, (70
-у C=h-c (72)
270
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
(см. § 210). Из (61) - (62), а также из изложенного в § 155 видно, что
соотношение (7i) представляет собой интеграл энергии необратимой
динамической системы с функцией Лагранжа (5i). Постоянная энергии во
вращающейся системе координат обозначена через -Ч2С. Эта относительная,
или синодическая, энергия равна в силу (72) разности между сидерической
энергией h и (сидерическим) кинетическим моментом с.
§ 301. Рассмотрим, в частности, произвольную эллиптическую (включая
круговую, но исключая прямолинейный отрезок) траекторию, так что й<0ис^=0
(см. § 242). Тогда в силу (4) § 241
где Т - период (сидерический), с > 0 для прямого и с <0 для обратного
движения в сидерической плоскости (см. § 242). Согласно (18) § 265
направление движения можно учесть, приписав величине п тот же знак, какой
имеет с. Таким образом, в (9i) - (9г) вводится тогда квадратный корень а
= Уа, который берется с тем же знаком, что и п. Если через А'/г
обозначить положительный квадратный корень числа А > 0, то согласно (80,
с2 = а(1 - е2)
(80
(82)
и согласно (15) § 276
Т - 2я : п,
(90
(92)
(100
л=-4 ""г-
с = а(1 - е2)1/а,
(Юз)
(102)
а формулы (90, (9г) и (7г) запишутся в виде
п = а-3,
Т - 2л а3,
С = 2а (1 - е2) 7" -f- а-2.
(110
(НО
(Из)
Заметим, что период (9г) имеет тот же знак, что и с.
§§ 300-312. СИНОДИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
271
§ 302. Нет необходимости подчеркивать, что слова "прямое", "обратное",
"период" в § 301 имеют смысл, если рассматривать движение в невращающейся
координатной системе (х, у). Положение становится совсем иным, если
рассматривать движение в синодической системе координат (х, у). Движение
по эллиптической орбите может быть с точки зрения наблюдателя во
вращающейся системе координат прямым при одном t и обратным при некотором
другом t. Действительно, подстановка (2i) - (2г) в (4) приводит к
формулам
х = г cos (w - t + <о), Л /4а\
у = r sin (w - t + со) (со = const), I
которые показывают, что направление синодического движения при данном t
определяется знаком производной (w-f + co)': т. е. функцией и/ - 1. Так
как из (1з) и (2i) - (2г) следует, что г2 и/ = с, то синодическое
движение будет прямым при с > г2 и обратным при с < г2 (с += 0). Однако
максимальное и минимальное значения фокального радиус-вектора г - r(t)
эллипса равны а(1 + е), а(1 - е) соответственно. Следовательно,
направление синодического движения меняется при некотором t = f* тогда и
только тогда, когда постоянные интегрирования (8i) - (82) таковы, что
постоянная (10i) заключена между двумя положительными границами
аЦ1 + е)2 аЦ 1-е)2___________________________
,------------------------------------ , 0 < е < 1,
yi - е2 yi - е2
т. е. тогда и только тогда, когда
(!-")* ^ ^ (l + e)7'
<с а <с -.
1+е 1-е
§ 303. Любое сидерически обратное эллиптическое движение является также
синодически обратным при любом t. Это вытекает из условия с < г2 (см. §
302), которое имеет место, поскольку с < 0.
Вместе с тем сидерически прямое эллиптическое движение будет синодически
прямым при любом t лишь тогда, когда а меньше, чем
(1-е)'*
1 + е '
где 0 ^ е < 1 (при этом а > 1). К такому выводу придем, если в
неравенство с >¦ г2, где с2 = а( 1 - е2), подставим maxr(?) = = а( 1 +
е).
272
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
§ 304. Применим критерий, указанный в предыдущем параграфе
к частному случаю е = 0. Мы увидим, что любое сидерическое
