Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, если применить в задаче с функцией Н = Я(Е, Н, ?, р)
замену переменной (14), полагая G = |zj;(g + и]) |2, то функция
Гамильтона (15) § 180 при фиксированном значении постоянной энергии
запишется в виде
Я = 1(Н* + Н*)-1(|г"|еН-|**|11В)/-'7(Е,п,А), (9)
где в соответствии с (72) и § 52
V = (u-^\z\Y + h)\ztf, (100
Mz?\ = Ms + l^lm- (Ю2)
В соответствии с § 180 интеграл энергии и новая независимая переменная t
представляются формулами
Я = Я(Е, Н, ?, т], К) = h, Я = 0, (110
f^?(t)=S \чт))\-г&. (но
Если положить
т], h) = \ztf(U + h), (120
tj) = |же|Ч (120
то лагранжевы уравнения и их интеграл энергии запишутся в виде \-2ar\ =
Ul, т] + 2со? = (130
|-(Ё, + Л,1-^(Е.Л.А)=0, (130
где точкой обозначается дифференцирование по t.
Действительно, согласно правилу преобразования, указанному в § 157,
функция Лагранжа L = L(|, т], ?, tj, /г), соответствующая функции (9),
имеет вид
L = ~ (?¦ + V; + у (I к Л ~ I 2= \A)f + U, (1^0
где
U=V + ^-{\z*\l+\z*U)f. (140
204 ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИ!: СИСТЕМЫ
Так как функция х + iy = z = z(Q = z(? ir|) удовлетворяет уравнениям Коши
- Римана х% = уц, х^ = -у%, то сумма квадратов в (142) сводится к
4|z|2|zj|2. Поэтому из (10i) видно, что функция (142) может быть записана
в виде (12t). Кроме того, с помощью (Юг) и определения лагранжевой
производной \L\q (см. § 9) легко обнаружить, что лагранжевы уравнения
[L]j = О, [LJt, = 0, соответствующие функции (14i), сводятся к (13i),
если
" = |2?|2/ + y{|z2|^ + |z2|I)/I)}
или (в силу уравнений Коши - Римана)
2ы = 2\ч\21 + \zi\4xfx + yfv) ¦
Следовательно, (122) вытекает из (3). Наконец, поскольку h - О согласно
(lli), то интеграл энергии для уравнений (13:) имеет вид (132).
§ 231. Как видно из (60, произведение функций н=2ы(х, у) на компоненты
скорости х', у' следует интерпретировать как корио-лисовы силы. Согласно
(3) система свободна от таких сил тогда и только тогда, когда /(х, у) -
однородная функция степени - 2. Очевидно, это будет тогда и только тогда,
когда выражение (ху' - yx')f(x,y) совпадает с производной G' некоторой
функции G - G(x, у), подобранной соответствующим образом. В соответствии
с § 156 для этого необходимо и достаточно, чтобы в (54) отсутствовали
линейные члены относительно ху'. Другими словами, кориолисовы силы
отсутствуют тогда и только тогда, когда система обратима (§§ 155, 156 и
§§ 209, 210).
В этом случае (70- (72) и (52) записывается в более простом виде:
tf = l(X2+F2)-f/(x, у), (150
X = х', Y = г/, (152)
a (5i), (6|), (62) перепишутся в виде
х = (х'2 + у'2) + г/, (16.)
*"=?/" u"=Uy, (16а)
j(x'*+y'*)-U=h, (163)
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
205
причем (62) остается без изменений (см. § 155). Аналогичным образом на
основании (8) и формул в § 172 получим, что
М = {2(x'*+y'z) (?/(*, у) + *)}*, (17!)
W=^Mdt, (17*)
W=l (x* + y*)dt. (17а)
Наконец, из изложенного в § 179 следует, что при фиксированном значении
постоянной энергии h проблема интегрирования уравнений Лагранжа (162)
эквивалентна проблеме геодезических линий на поверхности S;" на которой
квадрат элемента дуги ds2 выражается формулой
№ = $ь)(х,у)(а# + ау*), (18)
где
gW = 2(U(x,y) + h)
и х, у играют роль гауссовых параметров. Если Kh = Kh(x, у) - гауссова
кривизна на S/,, то в силу (4)
" 1 {vi + oi)-ia + h)ia" + u")
** = Т----------------{гТ+ч3--------------¦ <19)
§ 231а. Знаменатель в формуле (19) не должен обращаться в нуль.
Действительно, в соответствии с § 179 подразумевается, что переход от
(162) - (163) к (18) справедлив лишь при условии, что х'2 _|_ у'2 ф у или
СИЛу (163)), что U(x, у) -f- h Ф 0. Но тогда формула (18) показывает, что
особым точкам поверхности Sп соответствуют именно те точки плоскости (х,
у), которые лежат на множестве нулевой скорости. Действительно, согласно
изложенному в § 167 множество Zh состоит из точек (х, у), где U(x, у) + h
~ 0. Следовательно, если исключить тривиальный случай U(х, у) - const, то
Zпредставляет собой кривую на плоскости (х, у).
Разумеется, эта кривая не обязательно представляет собой связное
множество, но может иметь довольно сложную структуру и содержать
изолированные точки. Множество Zh может быть также пустым (см. § 168).
§ 232. Возвращаясь к общему случаю (см. § 229), можно сделать вывод, что
если значение постоянной энергии h фиксировано, то для понижения порядка
системы (6j) на единицу можно использовать интеграл (62). Для этого
следует, например, выразить у' с помощью (62) как функцию х, у, х\ h и
переписать (6i) в виде
206
ГЛАВА П1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
системы трех дифференциальных уравнений первого порядка относительно х,
у, х', в которых h играет роль постоянного параметра. Правда, можно
выполнить подобную изоэнергетическую редукцию системы и иначе с целью
прийти к уравнениям, имеющим более симметричную форму. Заметим прежде
всего, что при заданном значении h интеграл энергии (62) определяет
"трехмерное множество" в четырехмерном пространстве.
