Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
х" -f х = 0, у" + у = 0,
а их общее решение
х = a cos (t - t°), у = b cos (t - t°)
всегда периодическое (равновесное решение а - 0, b = 0 исключается
благодаря тому, что г > 0). Тот факт, что период этого решения (равный
2л) не зависит от постоянных интегрирования, согласуется с изложенным в
конце § 160а, поскольку в данном случае Р-1 - 72 = 0. Очевидно, что мы
имеем дело с под-случаем ол =¦ 0)2 случая (?) § 125 (см. § 130).
В § 259 мы увидим, что случай U(г) = г-1 §§ 217-218 при фиксированном й(<
0) приводится к рассмотренному в этом па-
раграфе тривиальному случаю U = -
§ 220. Рассмотрим опять общий случай (см. § 211), отбрасывая для
упрощения исключительные случаи, упомянутые в начале § 212. Пусть через
Ф, R обозначены импульсы Lw>, Lr>, канонически сопряженные с
координатами ф, г. В силу (12i) имеем
Ф = т^ф', R = г'. Следовательно, функция Гамильтона
Н(Ф, R, ф, г), соответствующая лагранжевой функции (12i), запишется
согласно (2i) § 15 в виде
ЯЭЯ(Ф,Д,г)=*(лг + ^)-?/(г), (24)
а интегралы (122), (12з) энергии и момента количества движения в виде
Н = h, Ф = с.
Уравнение в частных производных (15) § 114 примет вид 1 / W 2
\
z\wr2 + ~~)-u(r)=h, (25)
где (ф, г) -- (qu q2) = q.
13*
19(5
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 221. Заметим, что координата <71 = ср не входит в (25) явно и что
поэтому Wф = ф - с. Учитывая это, а также используя соображения,
аналогичные тем, которые были приведены в § 114, придем к выводу, что
уравнение (25) допускает решение вида W - с<р -|- V, где функция V - V
(г) не зависит от ф. Для V мы долучим, исходя из (25), следующее
обыкновенное дифференциальное уравнение:
1 / с2 \
Его общее решение V - V (г) выражается неопределенным интегралом от
функции
.2 ¦/"
Г с т ^
|2(t/(r)+/!)-- } .
Таким образом, если г° = г°(с, h) - некоторая функция постоянных
интегрирования с, h, то решение W = W(ф, г) уравнения (25) можно записать
в виде
W = c<p + V =*с<р+ J {2(?/(г) + h) - - ^ dr. (26)
г°(с,Л) ^
Однако здесь необходима осторожность, поскольку функция W (ф, г) должна
обладать непрерывными производными WT,. .., а это условие нарушается,
если подынтегральное выражение { }1/г в (26) обращается в нуль. Правда,
сравнивая (26) и (18г), приходим к выводу, что { }'/а обращается
тождественно в нуль
именно в случае кругового решения.
Обращение же в нуль выражения { }1/j при изолированных
значениях г (например, при г = г°) не играет никакой роли.
§ 222. Если исключить случай круговых решений, то формула (26) определяет
полный интеграл уравнения (25),в котором роль постоянных интегрирования
щщ выполняют с и h. Действительно, условие (18) § 116 полноты интеграла
тогда выполняется, поскольку согласно (26)
det(W7.Ufc) =
1 0
Wrc WTh w" Wrh
= VTh - -
{ Р
Следовательно, применимы результаты, изложенные в § 116а. Пусть f° -
фиксированный момент, через /° обозначается для любой функции / величина
(/) (=*" и qi = Ф, ?2 = *\ Qt = с, Qi = h. Тогда
- WQl = - Wc = - Ф - Vc
S§ 206-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
197
б силу (26). В соответствии с § 116а получим, что
Pi = -V - УД Р2 = Д Qi = c,Qz = h (27)
суть канонические постоянные интегрирования.
§ 223. Пусть производная г' = r'(t) решения г = r(t) = 5= г(?, с, К) > 0
уравнения (163) обращается в нуль при некотором изолированном значении t
= t0 = t0(c, h). Например, пусть г (t0) - локальный минимум функции r(t).
Предположим, что *о совпадает со значением t°, указанным в § 222, и пусть
нижний предел r° = r°(c,h) в интеграле (26) равен r(t0). Тогда, если
выполняется очевидное условие дифференцируемости, то
где со = ср(?о) (r'(to) = 0) -канонические постоянные интегрирования.
Это можно доказать, если учесть заключительное замечание в § 221.
Действительно, прежде всего из (26) следует, что
Так как последний интеграл обращается в нуль при г=т°(с, h) =э = г(*о),
то
Однако, положив t = t° = t0 в (16г) - (163) и используя принятое условие
г'(t0) = 0, видим, что ({ }'/а)° = 0.
Следовательно, Vr° = 0 и постоянные (27) сводятся к системе канонических
постоянных интегрирования, эквивалентной системе (28) в силу изложенного
в § 42.
§ 224. Эти результаты можно перенести теперь на случай трех прямоугольных
координат. С этой целью рассмотрим для фиксированного значения параметра
i консервативное преобразование v = v(q) л = 3 трех координат q\ = х, qz
- у, <7з - v в координаты Vi = ?, Vi - т], Уз = С по формулам
| =-¦ х cos v - у sin v cos l, т] = х sin v + у cos v cos L,
Pi - h, Pz~ c, Qi - -to, Qz = со,
(28)
Vc°= -r°(c,h)({ }V=)o.
| = у sin i.
Якобиева матрица / = i\, для этого преобразования равна
(29)
cos V -sinv COS L -_T]
J = sin V COS V COS L ?
0 sini. 0
(30;
198
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
причем i-я строка в (30) получается частным дифференцированием Vi по х,
у, V. Мы будем предполагать, что
-sin i Ф 0 (т. е. I ф 0, ±Jt,.. .), (3I17
| cos v + T] sin v ф 0, (31z)
поскольку определитель матрицы (30) равен произведению (31i) на (31г).
