Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
вспомогательной переменной {. Заметим, однако, что если значения
постоянных А, Ао в (14i) - (142),
(15i), (152) находятся в области, в которой ? = S(0> Л
= 'П(O'-
периодические функции с периодами Ti = Ti(A, Ао), т2 = т2(А, А0)
соответственно, то Ti и т2 являются непрерывными, не вырождающимися в
константы функциями А, Ао и таким образом в общем случае несоизмеримыми.
Следовательно, если только отношение Ti: т2 не окажется рациональным,
кривая ? = 1(Г), 'П==т1(0> описывающая движение частицы М, не является
периодической, но полностью заполняет (всюду плотно) прямоугольную
область на плоскости (Е, т]) (см. § 125).
§ 205. С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались в §
198, учитывая четность силовых функций (14j) - (142), придем к выводу,
что при определенном выборе постоянных А, Ао периоды ti и т2 несоизмеримы
друг с другом. Тогда замкнутый прямоугольник на плоскости (Е, т|),
заполненный
*) В силу (14л), к = 1, 2, квадратуры, получаемые при решении (15*), к =
1, 2, приводят к эллиптическим интегралам первого рода.
182
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
всюду плотно точками интегральной кривой, содержит точку (?*< ТГ)) в
которой (cos Г, сЬц ) - (1, 1), но не содержит точки (?., Л*), в которой
(cos сЬт].) = (-1,1).
Поскольку этот прямоугольник представляет собой замыкание множества тех
точек, к которым кривая (?, т}) = (|(?), rj(i)) приближается сколь угодно
близко при ?-> ±оо, из (12i) - (12г) следует, что г2 - г2(г), но не rt ¦=
rj (г), при некоторых достаточно больших значениях t принимает значения,
сколь угодно близкие к нулю. Из (12i) - (122) также видно, что по крайней
мере при достаточно больших t не только ri(?)>0, но и r2(t) >0.
Действительно, если бы г2 обращалось в нуль при некоторых значениях ?,
сгущающихся на бесконечности, то периоды периодических функций cht](?),
ch|(?) не могли бы быть несоизмеримыми.
Поскольку ^ = n(t) -расстояние между движущейся частицей М и неподвижным
центром Pi, ? = 1, 2, то равенство ri(t) =0 означает, что имеет место
столкновение между М и Pi в момент t, а неравенство г,-(?) > 0 указывает
на отсутствие столкновения. Вместе с тем при рассмотренном выборе
постоянных интегрирования движение М таково, что r\ (?)_ > 0, тг (?) > 0
при const С |?| С оо, хотя lim inf r%(?) =0 при t-*~ оо. Следовательно,
частица М движется под влиянием притяжения двух неподвижных центров Р1 и
Р% так, что хотя настоящих столкновений между М и Pi, ? == 1,2, нет, но в
определенные и сколь угодно большие моменты ? частица М оказывается в
произвольно малой окрестности Р2.
СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ § 206. Если п = 2 и
L = -0 g{qi){qiz + qz2),
то мы имеем частный случай (li) - (12) § 194. Это становится очевидным,
если положить gi = g2 = 1, dz = е2 = 0, di = g, = = gV.
В качестве примера рассмотрим задачу о геодезических линиях на
поверхности вращения S. Такая поверхность характеризуется тем свойством,
что при соответствующем конформном отображении области, принадлежащей S,
на евклидову плоскость (х, у) квадрат элемента дуги ds2 на S представится
в виде
ds2 - g {х, у) {dx2 + dy2),
§§ 206-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 183
где множитель пропорциональности g - g(x,y) >0 есть функция только Уа:2 -
f- у2. Другими словами, если положить
X = Г COS ф, У=ГВШф (1)
ц выбрать в качестве гауссовых параметров на S переменные г, ф, то
ds2 = g(r) (dr2 -f- гУф2),
где g(f) > 0. Очевидно, что уравнения меридианов и параллелей на S есть ф
= const и г = const соответственно, а геометрический смысл множителя g(r)
таков, что если о - длина дуги меридиана, то
da2 = g (г) dr2. (2)
Согласно § 178 функция Лагранжа в задаче о геодезических ли-
ниях на S имеет вид
1
т. е.
Ь = ^В{т)(1* + т*чР). (3)
Отсюда видно, что ф - циклическая координата. Следовательно, уравнения
Лагранжа обладают не только интегралом энергии, но и интегралом Lv> =
const. В соответствии с (3) оба эти интеграла записываются в виде
jff(r)(r'I + 'V*) = *I (4*)
?(0*V=C- (4z)
Из (3) также видно, что если фиксировать с, то можно привести аадачу к
одному уравнению, соответствующему лагранжевой функции L' = L* (г\ г, с),
которая определяется формулой (22) § 184, где надо положить qt - г, git =
g, g^ - г2#, U = 0, так что
= с), (5)
где
"•=1. "Г-1*1.
8 S 2 г*
К уравнению [L*]T = 0, описывающему систему с одной степенью свободы,
применимы результаты, изложенные в §§ 185-190 (и в §§ 191-192 в случае
периодичности g*, U* по г). Если
184
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
решение г = r(t) этого уравнения известно, то функция <p(t) находится из
(42) при помощи квадратуры. В частности, с = 0 тогда и только тогда,
когда ф(?) = const, т. е. когда геодезическая линия совпадает с
параллелью г = Го.
§ 207. Рассмотрим движение частицы в n-мерном евклидовом пространстве
(хг) под действием центральной силы, зависящей лишь от расстояния, т. е.
пусть уравнения движения имеют вид
x" - Uxx{r), i = 1,..., и, (6)
где г = (х,2 + ... + хп2) \
