Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 215. Пусть решение г =r(t) уравнения
[//],= г"-*/,* = 0
таково, что с ф 0 и r(t) ф const. Тогда в силу изложенного в §§ 185-187
функция r(t) либо асимптотического типа, либо периодическая с периодом т,
причем
Р
х = 2 J [2 (ff* (г, с)+ *)]-'/.*¦, (170
а
где
а = minr(t) < maxr(f) = р. (17г)
Рассмотрим последний случай и предположим, что r(t) ф 0 при любом t, т.
е. что а > 0. Обозначая через у > 0 свободный член ряда Фурье для
непрерывной периодической функции 1 I r*(t) и полагая v = су, получим на
основании (12з), что <p(f) = vf + i|j(f), где ijj(f) -периодическая
функция с тем же периодом, что и r(t). Следовательно, из (1) видно, что
качественное поведение интегральной кривой на плоскости (х, у) при t -*¦
оо зависит от того, будет ли отношение vx : я, определяемое постоянными
интегрирования, рациональным или иррациональным. В первом случае обе
функции x(t), y(t) имеют общий период, кратный т, так что интегральная
кривая на плоскости (х, у) замыкается после достаточного числа оборотов
вокруг начала координат. Во втором же случае несоизмеримости vx и я из
соответствующих замечаний *) в § 125 или § 197 видно, что при f оо
интегральная кривая приближается сколь угодно близко к любой точке
кругового кольца а2 ^ х2 + у2 ^ р2, а а и р определяются согласно (17г).
§ 216. Предположим, что r(t) = r0 = const > 0 есть равновесное решение
уравнения
[L']t ^ г" - и г* - 0,
*) Позиционное пространство, заполненное всюду плотно точками инте
тральной кривой, можно также представить в виде тора, поскольку r-r(t) -
периодическая функция, а угловая переменная <р = ф (О может быть
приведена к mod 2л.
§§ 206-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
191
и пусть Со, йо - значения постоянных с, А, соответствующие этому решению.
Тогда в силу (16а) - (163)
причем (18г) вытекает из обоих соотношений (18i), необходимых и
достаточных для существования числа го > 0 такого, что r(t) = г0 есть
равновесное решение, соответствующее значениям с0 0, йо Щ. 0. Из
структуры соотношений (18i) видно, что Го может быть любым положительным
числом тогда и только тогда, когда UT{r) < 0 при любом г, т. е. (см. §
211) когда действующая сила есть сила притяжения (а не отталкивания).
Из (1) и (123) видно, что равновесное решение r(t) = г0(> 0) уравнения
[?<*],. = 0 представляет или равновесное (при с0 = 0) или круговое
решение (при со > 0) уравнений (lli). В последнем случае угловая скорость
движения по кругу хг + у2 = га2 постоянна и равна со / г02. Обозначая
период движения, равный 2яг02 / со, через то и используя (18г), получим
Таким образом, круговые движения являются периодическими независимо от
соизмеримости или несоизмеримости чисел vt и л
В соответствии с § 190 характеристические показатели равновесного решения
r(t) s= га уравнения [L*]r = г" - U* (г, с0) = 0 равны квадратным корням
из UTr* (г0, со) или
*) В § 215 мы неявно предполагаем, что периодический член яр (i) в
формуле ф(г) = vt + r|)(/) не вырождается в константу. Но если ф (/) =
const, то ф'(() = v = const, и мы придем тогда в силу (123) к случаю
кругового движения г =¦ const, исключенному в § 215.
- с02 = ra3UT(ra), - А0 = U(ra) + * г0С/г(г0),
2го2(^(г0) + йо) = со2,
(18i)
(182)
2nt
2 л t
(190
X - Го COS
у - Го sin
То
То
где
(см. §215*)).
(20)
поскольку в силу (16г), (180
Un(r0, со) = U"Ы , со2 = - Гозиг(г0).
Го
192
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 217. В последующем будем предполагать, что круговое решение (19i)
существует при любом заданном г0 > 0. В соответствии с § 216 это имеет
место тогда и только тогда, когда UT(r) < 0 при любом г.
Естественно спросить, каков должен быть закон притяжения UT(r), чтобы
любое решение х = x(t), у - у(?) с постоянными интегрирования h, с,
достаточно близкими к постоянным Ао, с0 кругового решения (19i), было
периодическим и имело период т = т(с, А), стремящийся к периоду (19z)
кругового решения при с Со, h -*¦ Kq.
Вследствие появления несоизмеримых частот в общем случае (см. § 215)
налагаемое требование периодичности является настолько жестким, что оно
делает возможным явное определение функции UT(r). Оказывается, что если
исключить тривиальный случай, то сила UT(r) должна быть пропорциональна
г-2, т. е. соответствовать аанону притяжения Ньютона (о тривиальном
случае см. § 219а).
§ 218. С целью доказательства последнего утверждения выберем произвольным
образом пару констант с0 > 0 и ho, удовлетворяющих условиям (18i) для
кругового решения г = г0. Фиксируем с0 и будем варьировать постоянную h
интеграла энергии (Иг) произвольным образом вблизи значения А0. Тогда в
силу требований периодичности, указанных в § 217, радиус-вектор r{t) для
решения уравнений (lli) с постоянными интегрирования с0, h должен
изменяться периодически с периодом т = т(с0, h). Следовательно,
Эта формула вытекает из изложенного в §§ 189-190, если учесть, что
характеристические показатели для решения г(?) = г0 определяются формулой
(20).
Так как г0 > 0 может быть произвольным, то из (21) и изложенного в § 217
