Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что при любом Го > 0
Но согласно требованию в § 217 предел (21) должен быть равен при любом Го
периоду кругового движения. Следовательно, должно выполняться при любом
Го (т. е. при любом г) соотношение
(21)
и гг (Го) + Шт{Тй)- < о, Ur (Го) < 0. Го
(22)
(23)
§§ 206-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
193
Это соотношение представляет собой линейное дифференциальное уравнение
относительно U(г), общее решение которого имеет вид
где С я Ci - произвольные постоянные. Так как нас интересует только закон
изменения силы UT(r), то можно положить Сi - 0. Из (22) следует, что С >
0. При соответствующем выборе единицы длины получим С - 1, что и
утверждалось в § 217.
В § 241 (и в § 267) мы увидим непосредственно, что в этом частном случае
функции U(r) условия, указанные в § 217, действительно выполняются.
§ 218а. Закон U(г) = г-1 был получен при рассмотрении почти круговых
орбит. Однако важно осознать исключительную роль этого закона с точки
зрения общих положений, изложенных в §§ 126-130. В § 241 мы увидим, что в
случае U(г) - г~1 найдутся для каждого решения (не обязательно почти
кругового) x - x(t), у = y(t) постоянные а, Ъ, удовлетворяющие
соотношениям
ex' = -yU + а, су' = xU -f- Ъ.
Из этих соотношений следует, что если U - г~1, то интеграл (112) можно
заменить двумя интегралами:
так что вместо двух интегралов (11г)- (Из) уравнений (lli) мы получим три
консервативных интеграла, независимых в смысле определения в § 82. Кроме
того, эти интегралы, будучи алгебраическими, являются изолированными в
смысле определения в § 128. Если же считать U = U(r) произвольной
функцией, то уравнения (lli) имеют только два изолированных интеграла
(Иг) - (Из)- Что касается третьего консервативного интеграла
(существующего в соответствии с изложенным в § 82 и определяемого
согласно результатам в § 214 при обращении квадратуры), то он не является
изолированным. Этот вывод следует с достаточной очевидностью из
соображений, основанных на результатах, которые приведены в § 215. Таким
образом для произвольной силовой функции U (г) степень примитивности т -
1 - I (см. § 130) равна 4-1-2 ф 0, а для ньютонианской силовой функции
она равна 4-1-3 = 0.
U(r) = ~ + Cu
(11а)
где
U = (а:2 + J/2)
13 А. Уинтнер
194
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В §§ 219-219а мы увидим, что степень примитивности равна также нулю и для
силовой функции Гука, но отлична от нуля во всех остальных случаях.
§ 219. Условия, налагаемые на силовую функцию U в § 217, таковы, что
требуется не только периодичность почти круговых решений, но также и
близость периода такого решения к периоду (19г) кругового решения.
Естественно спросить, какова будет силовая функция U (г), если отбросить
это дополнительное ограничение. Тогда можно допустить, что предел (21),
не будучи равным периоду кругового решения (19г), соизмерим с ним.
Сравнивая же (19г) с (21), придем к выводу, что (23) следует заменить
более общим соотношением
^гг(г) + . = о, (23а)
где А - некоторое рациональное число. Общее решение этого уравнения
относительно U (г) при фиксированном А, имеет вид
U(r) = C -т^-г+Си
где С, С1 - произвольные постоянные, причем можно положить, как и в §
218, Ci = 0.
Однако оказывается, что единственно допустимым является значение А = 1
(тот же случай, что и в § 218). Действительно, если положить А, =ф 1, А
=ф 2, то детальный анализ интегралов (12г) - (123) при U = С-тл'~2
показывает, что решения, близкие к круговым, не могут быть все
периодическими. Случай А - 2 может быть исключен по другой причине *).
Этот факт не удивителен, поскольку соотношение (23а) было получено лишь
как необходимое условие, которое вполне может не быть достаточным. Для
доказательства того, что все значения А ф 1 должны быть исключены,
приходится вычислить для гипотетического периода т = т(с0, h) при малом |
h0 - h | приближение более высокого порядка, чем нулевое приближение,
определяемое согласно (21). Эти элементарные, но несколько длинные
вычисления мы приводить здесь не будем.
§ 219а. Имеется один особый случай, которым мы пренебрегли выше.
Действительно, из §§ 189-190 видно, что рассуждения, приведенные в § 218,
оказываются несправедливыми в том слу-
*) В § 219а мы увидим, что если А = 2, то интегральные кривые на
плоскости (х, у)-эллипсы, т. е. простые замкнутые кривые, принадлежащие
по определению А (23а) к случаю А = 1. Таким образом, предположение А = 2
приводит к равенству 2 = 1.
§§ 206-228. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
195
чае, когда период решения не зависит от постоянных интегрирования. В силу
(19г) § 216 при таком предположении о постоянстве периода мы получим для
U = U(r) условие Ur(r) / г = с = const. Вместе с тем условие Ur < 0 (см.
§ 217) показывает, что с < 0, так что можно положить без потери общности
с = -1. Таким образом, Ur(r) = -г, т. е. V = -у г2 (если не
выписывать аддитивную постоянную). Уравнения (lli) запишутся при такой
силовой функции в виде
