Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Мл - часть этого множества, где х'г -j- у'2 ф 0, так что Мл
характеризуется условиями
^(x'2 + y'2)-U(x,y)-h = 0,
U{x,y)+h> 0 (х'2 + у'2Ф 0). J (20)
Мл есть также "трехмерное множество". Оно состоит из тех состояний (х',
у', х, у), которые удовлетворяют интегралу энергии (62) при фиксированном
h, но не соответствуют точкам множества Zh нулевой скорости при этом
значении. Другими словами, Мл состоит из тех точек пространства (х', у',
х, у), которые, если их рассматривать как начальные для уравнения (6*),
определяют h как постоянную интеграла энергии и отличную от нуля скорость
(х'2 + у'2)1/j. Ограничение, налагаемое последним условием, исключает
на плоскости (х, у) лишь точки равновесия и точки возврата
(см. § 169). Интегральная кривая, лежащая в Мл, имеет
в каждой точке плоскости (х, у) касательную, определяемую единственным
образом. Если w - угол между этой касательной
и положительным направлением оси х, то w - arctg причем
х' и у' не обращаются одновременно на нуль (см. (20)). Поэтому можно
выписать формулы
a:' = vcos w, y'=;vsinw, (21)
у1
где у>0и!С = arctg Если положить, учитывая (20),
v = {2(E/(z,y) + А)}'А > 0, (22)
то формулы (21) осуществляют параметризацию множества Мл с помощью трех
независимых переменных. Из (62) при этом видно, что величина v равна
скорости (х'2 -j- у'2)1/а, выраженной при фиксированном h через х и у.
Упомянутая выше система трех дифференциальных уравнений может быть
получена далее после того, как мы определим три функции х, у, w трех
независимых переменных х, у, w и
227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 207
произвольно фиксированного параметра А по формулам х = v cos w, у = v sin
w,
Uv cos w - Ux sin w w= -2(0 + :- ---------------------
(23)
где v определяется согласно (22), a Ux, Uv зависят только от x, у (см.
(3)). В силу (21) н/ равно отношению у"х' - х"у' и х'2 + у'2. Упитывая же
выражения для х", у" и х'2 + у'2, получаемые из (6i) и (62), придем к
выводу, что w' равно функции w, определенной согласно (23). Аналогичным
образом получим на основании
(21), (22), (23), что х' = х, у' - у. Таким образом, искомые уравнения
имеют вид
х' = х(х, у, w, А), у' = y(x,y,w,h), w' = w(x, у, w, А). (24)
Решения системы (61) четвертого порядка, соответствующие постоянной
энергии А, совпадают в силу (21) с решениями системы (24) третьего
порядка, если исключить состояния x'2(t) + + y'2{t) = 0 и определить
функции х, у, w по формулам (23),
(22).
Дифференцируя функции (23) по х, у, w соответственно и учитывая (22),
нетрудно установить, что
*х(х, У, w, А) + уу(х, у, w, А) + ww(x, у, и>, А) е= 0. (25)
§ 232а. Если к = k(t) обозначает кривизну и s = s(t) -длину дуги вдоль
положительно ориентированной *) интегральной кривой х = x(t), у = у (t) с
постоянной энергии А, то система трех уравнений (25), справедливых при
х'2 + у'2 ф 0, эквивалентна двум уравнениям
- 2tov+ Uycoaw- Uxainw
к =-------'-¦-------1----------------, s = v, (26)
vz
первое из которых в силу определения кривизны есть дифференциальное
уравнение второго порядка.
*) Кривая считается "положительно ориентированной", если длина дуги
s = s(t) возрастает вместе с t. Кривизна определяется как производная '
4" ds
причем w - угол наклона касательной к положительно ориентированной оси х.
Заметим, что, в отличие от гауссовой кривизны поверхности, кривизна
кривой определяется инвариантным образом только по абсолютному значению.
В соответствии с этим выражение для к
к = (у"х' - х"у') : (х'2 + у'2)1/,
содержит квадратный корень (^ 0), а выражение к- изменяет знак,
ds
если изменить направление отсчета длины дуги s.
208
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Действительно, поскольку v = (х'г -f y'2)'/j> 0 согласно (22),
dw
a ds - (dx2 + dy2)'l\ то s' - Кроме того, поскольку к = ---
или к' = w' / s' = w' / v, то (26) следует из (23), (24).
§ 233. Рассмотрим, например, периодическое решение. Пусть h - постоянная
энергии и т - период этого решения, соответствующего замкнутой
интегральной кривой С на плоскости (х, у). Предположим для простоты, что
С не имеет точек самопересечения ("петель"), т. е. что С - жорданова
кривая. Обозначим через D область, ограниченную этой кривой. Предположим
далее, что функция (3), входящая в лагранжевы уравнения (6i), есть 01 (х,
у) - 1. Наконец, предположим также, что ни кривая С, ни область D не
содержат точек множества нулевой скорости Zт. е. что неравенство (22)
удовлетворяется как на С, так и внутри С.
Таким образом, лапласиан A(Jgn) = (lgi>)xx + (lg v)vv является
непрерывной функцией х, у в области С + D.
Покажем, что если эти предположения выполнены, то период т для данного
решения может быть выражен с помощью двойного интеграла
1=1^5 A2lgv(z, у, h)dxdy. (27)
D
Действительно, рассмотрим сначала случай, когда С окружает начало
координат на плоскости (х, у) и эта кривая С ориентирована положительно,
т. е. угловая координата w - w{i), определяемая согласно (21), возрастает
(если ее отсчитывать против часовой стрелки) на 2л на ^-интервале длиной
