Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
"интегрируемости" динамической системы с возможностью ее приведения к
квадратурам. Это видно не только из сказанного в § 199, но также из
примеров, показывающих, что возможность приведения динамической системы к
квадратурам не является ни достаточным, ни необходимым условием для
получения достаточной информации качественного характера о решениях этой
системы (см., во-первых, §§ 195-198 и, во-вторых, исследования
геодезических многообразий на двумерных многообразиях отрицательной
кривизны, упоминавшиеся в § 127). Все это находится в согласии с
высказываниями Пуанкаре, который относил системы не к интегрируемым или к
неин-
§§ 194-205. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
179
тегрируемым, а к интегрируемым в большей или меньшей степени.
О современных взглядах на эти методические проблемы см. §§ 227 и 440.
§ 202. В силу изложенного в §§ 185-192 можно склониться к мнению, что
динамическую систему следует называть "интегрируемой" тогда (но не только
тогда), когда она может быть расщеплена с помощью "явных" преобразований
координат и времени на совокупность динамических систем, каждая из
которых имеет одну степень свободы. Ниже будут рассмотрены некоторые
классические примеры лагранжевых функций, удовлетворяющих такому
требованию.
§ 202а. Как отмечено в § 199, функция Лагранжа должна иметь специфическую
структуру (li) - (1г) не в произвольных, но в специально выбранных
координатах д,-. Например, результат Якоби, касающийся интегрируемости
проблемы геодезических линий на поверхности aix^2 + агагг2 + сдоз2 = 1,
основан на том, что если три не равные нулю постоянные ai, а2, а3
различны *) и если в качестве гауссовых параметров gi, <72 на поверхности
ввести эллиптические координаты, то квадрат элемента дуги ds2 = = dx 12 +
dxг2 + dx32 представится формулой
ds2 = G (gidqi2 + g2dq2z),
Ще gi - функция лишь g< и G имеет вид (1г). Таким образом, лагранжева
функция данной задачи имеет структуру (li) - (I2) именно в координатах
gi, q2. (Тогда е<(д,) =0, G - д2 - gi, а - рациональные квадратичные
функции д,-.) То же самое
справедливо и в случае, когда один из коэффициентов си, аг, аз равен
нулю. Тогда эллиптические координаты вырождаются в параболические (см.
конец § 56).
Аналогичным образом интегрирование в двух из интегрируемых случаев задачи
о движении твердого тела с неподвижной точкой (случай Эйлера инерционного
движения и случай осевой симметрии) может быть непосредственно выполнено
с помощью введения сферических координат (Эйлер, Лагранж). Возможность
интегрирования в третьем случае (Софьи Ковалевской) обусловлена тем, что
функция Лагранжа приобретает вид (li) - (I2), если ввести эллиптические
координаты gi, q2 (Колосов).
§ 203. Рассмотрим движение частицы М под действием сил нью-тонианского
притяжения двух тел Pi и Р2, не притягивающих
*) Иначе поверхность яв'ляется поверхностью вращения, и в таком случае
интегрируемость задачи следует из изложенного в § 211.
12*
180
глава т. динамические системы
друг друга и не притягиваемых М (эйлерова проблема двух неподвижных
центров). Предположим для простоты, что М движется в плоскости, так что
проблема имеет две, а не три степени свободы. Пусть х, у - прямоугольные
координаты М. Выберем единицы времени, массы и длины так, чтобы
постоянная тяготения, сумма масс Pi и Рг и постоянное расстояние между Pi
и Рг были равны единице. Выберем далее начало координат (х, у) = (0, 0) в
центре масс Pi и Рг, а положительное направление оси х вдоль прямой Р\Рг-
Таким образом, если обозначить через р массу тела Рг, то масса Р i равна 1
- р. Координаты тел Р\ и Рг
на плоскости (х, у) равны (-р, 0), (1 - р, 0) соответственно.
Таким образом, если х = л:(?), у = y(t) -координаты точки М и ri=n(t), rz
- rz{t)-расстояния MPi, МРг соответственно, то функция Лагранжа запишется
в виде
L = ±-(x'* + y'z)+U,
где
p = i=?.+J!..
ri Гг
Введем теперь вместо х, у координаты ?, т] § 56, так что согласно (34) §
56
2ri = ch т] + cos g, (12i)
2r2 = ch tj - cos ?. (122)
Тогда будем иметь (см. § 56)
так что
L - ^ W (S'2 + V2) + (r'r2)-1 {(1 - M-)r2 + prj. (13)
После подстановки (12i) - (122) в (13) функция Лагранжа приобретает вид
(li) - (1г) § 194, где надо положить п = 2, qi = ?, ?2 = Т] и
1 1
gi - 1, ?2=1, di = - - cos2?, <k = - ch2ri,
4 4
ei=(p - - )cos?, ez = - chrj.
§§ 194-265. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
181
Таким образом, лагранжевы функции Li = у gtqi1 + ei + Adj (§ 194)
оказываются равными
Ll = ±? + U1, Lz = ~4* + Uz,
где
1
C^i = p,cosg h cos21, (14i)
4
Uz = -^-ch-ri + -^-Ach2T]. (142)
Интегралы энергии лагранжевых уравнений [Zi]j = 0, [Z^]n = О запишутся в
виде
^-Vi = hu (150
^-Uz = hz, (152)
где h\ = - А2 = A0, Ao- произвольная постоянная (см. § 194).
§ 204. Поскольку (45i), (152) представляют собой уравнения,
соответствующие в силу (14i), (142) системам с одной степенью свободы, то
к ним применимы результаты *) §§ 185-188, а также §§ 191-192 (только к
(15i))- Разумеется, точками обозначается дифференцирование по
