Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 81

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 202 >> Следующая

т > 0. Таким образом,
* X
2л = ^ w'dt =-2т-1 + ^ {[/vcosw-Ux sin w) v-1 dt, (28) о 0
в силу (24), (23), где, по предположению, ш = 1 *). Следователь-ds
но, изу = -- имеем dt
* - 2л - 2т Un\~zds, (29)
*) В обратимом случае, когда м - 0. имеем -2тм = 0 для любого т. Тогда х
не входит в (29) и вместо связи между периодом т и интегралом (27)
получаем простейший случай теоремы Гаусса - Бонне (см. конец § 231).
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
20!)
поскольку согласно (21) производная по внешней нормали к U = U (х, у)
вдоль положительно ориентированной кривой С равна
- {Uу cos w - Ux sin w}.
Однако vn = Unv~l в силу (22). Поэтому подынтегральное выражение в (29)
равно
vvnv-2 = (lgv)",
так что криволинейный интеграл (29) равен по теореме Грина двойному
интегралу (27). Следовательно,
% = -yl-n. (30)
Это выражение для периода и является искомым. Из доказательства ясно, как
следует изменить (29) в случаях, когда замкнутая кривая С ориентирована
не положительно, а отрицательно или же не окружает начало координат.
Выше мы предполагали, что условие (22) удовлетворяется не только на С, но
и внутри С, т. е. в области D. Если D содержит конечное число точек (х,
у) = (а, Ь), в которых функция (22) имеет нуль порядка г( = У (х - а)2(у
- Ь)2) при фиксированном значении А, то при применении теоремы Грина
следует выделить в интеграле (27) вокруг этих точек круговые области
радиуса е и рассмотреть предел при е -"- 0. Как легко вытекает из теории
логарифмического потенциала, это приведет к видоизменению соотношения
между т и /, а именно к появлению дополнительных кратностей я. Очевидно,
тот же результат справедлив и тогда, когда функция (22) имеет в конечном
числе точек (х, у) = (а, Ь) нуль порядка гт, т > 0, а также тогда, когда
функция U (х, у) имеет в точках (х, у) = (а, Ь) полюс некоторого порядка
т. Последний случай встречается в ограниченной задаче трех тел.
§ 233а. Из приведенного выше доказательства видно, что если С есть не
простая замкнутая кривая, но состоит из конечного числа "петель", то
формула (30) должна быть изменена с учетом ин-дексового числа,
определяемого ветвлением С.
Возникающие при этом проблемы существования связаны с соотношениями
Биркгофа для критических точек функций двух переменных. Эти соотношения
были выведены Биркгофом, а затем распространены Морсом на многомерный
случай именно в связи с упомянутыми проблемами.
14 А, Уинтнер
210 ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 234. Пусть (x(t), y(t)) есть решение (Gi) с энергией h:
x - x(t), y^y(t), (31i)
x* + y'*=2(U(x,y) + h). (31,)
Предположим для простоты, что "угловая скорость" ю = ш(х, у) определяемая
согласно (3), постоянна, так что / = со, и согласно (20- (2,)
х"- 2соу' = Ux, у" + 2 cox' = Uv< (320
L - у(х'2 + у'г) + (ху' - ух') а + U. (322)
Уравнения Якоби, определяющие смещение х = х(г), у = = у(t) для (ЗП),
имеют вид
х" - 2соу' = Uxxx + Uxy у, у" + 2 сох' = ихух + UyyY (?/**- Uxx(x(t),
y(t),...).
(33)
Действительно, из (32г) видно, что функция Лагранжа L, определяемая
формулой (21г) § 101, есть
L = у (*'2 + У'2) + (ху' - ух') со + U (х, у, t), (340
где
U = 1 (Uxx х* + 2Uxy ху + иуу у*) (34,)
и UXXl... - известные функции Uxx(t) = Uxx(z(t), y(t)),... от t вдоль
заданного решения (310 уравнений (322), а х, у- компоненты вектора я в
(212) § 101. На основании (340 и (342) мы и получим уравнения Якоби [L]x
= 0, [L]y = 0, приведенные в § 101 в виде (33).
Заметим, что уравнения Якоби (33) имеют линейный интеграл
x'(t)x' + y'(t) у' - Ux(t)x - Uv(t)y = h, (350
где
h = const. (352)
Действительно, (350 совпадает в силу (210 - (212) § 101 с (22)
§ 101.
В соответствии с (350 и с определением, данным в § 102, изоэнергетическое
смещение решения (310 представится теми решениями x(t), у(t) уравнений
(33), для которых имеет место тождество (по t)
х'х! + у'у' = Uxx + Uyy, (36)
т. е. h = 0.
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
211
Согласно изложенному в § 102 частное решение уравнений (33),
соответствующее изоэнергетическим вариациям, имеет вид
x-x'(t), у = y'(t). (37)
§ 235. Предположим, что в рассматриваемом ^-интервале решение (310
уравнений (32i) не достигает множества Ък нулевой скорости, т. е. что обе
части равенства (312) не обращаются на этом интервале в нуль. Это
предположение эквивалентно условию, указанному в §§ 232-233 и исключает
случай, когда решение (31i) пли вырождается в одну точку на плоскости (х,
у), или имеет при некоторых t точку возврата. Учитывая это,
можно определить для любого заданного решения х - x(f), у
= у(?) уравне-
ний (33) функцию п ='П (?), полагая
d
п = -, (38,)
v
где
d- х'у - у'х, (382)
i>= (x/2 + ^2)'/'>0. (38а)
В соответствии с этими формулами функция п = п(?) равна при каждом t
проекции вектора смещения (x(t),y(t)) на нормаль к интегральной кривой
(31,), причем направление этой нормали определяется знаком квадратного
корня (38з). Функция п (?) называется поэтому нормальным смещением
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed