Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
решения (31,), если только уравнения (33) обладают решением (х(?), у
(?)), с помощью которого п(?) представима в виде (38,).
Если, в частности, n(t) соответствует смещению (x(t),y(t)), для которого
h = 0, то п(?) называется изоэнергетическим нормальным смещением для
решения (31,).
§ 236. Ниже будет показано, что для заданной интегральной кривой (31,),
удовлетворяющей условию (З83), можно вычислить лишь единственную
непрерывную скалярную функцию х = x(t) такую, что скалярная функция п = н
(?) представляет собой нормальное смещение тогда и только тогда, когда
она удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
n"-)-x(?)n = 0 (39)
(см. ниже (45) и (44)).
Это выглядит парадоксальным, так как общее решение уравнения (39)
содержит при заданном x(t) две произвольных постоянных интегрирования.
Между тем изоэнергетическое смещение (x(?),y(f)), определяющее п(?),
зависит от трех таких постоянных (общее решение уравнений (33) зависит от
четырех
14*
212
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
постоянных интегрирования, одна из которых фиксируется благодаря
изоэнергетическому условию (352)).
Объясняется такой факт тем, что в соответствии с (38j) - (З82)
тривиальное решение п = 0 уравнения (39) соответствует не только
тривиальному решению x(t) = 0, у (г) = 0 уравнений (33), но также и
изоэнергетическому смещению, получающемуся при умножении функций (37) на
произвольную постоянную с. Эта постоянная и является недостающей третьей
постоянной интегрирования. Действительно, функции (37) не могут
обращаться тождественно в нуль и представлять тривиальное решение х ^ 0,
у = 0, так как иначе решение (311) вырождалось бы в точку равновесия, а
это исключено в силу условия (З83).
При построении функции х (?) для уравнения (39) при помощи
дифференцирования и соответствующих алгебраических преобразований
используется соотношение
(\v*)d'-[±"у'-у"х^ =
= {х'х' + y'f - х"х - у"у} (х'у" - у'х") + (х"г + у"*) d, (40)
представляющее собой алгебраическое тождество, поскольку в силу (382) -
(З83)
d! = х"у - у"х + х'у' - у'х', (41i)
( ) = *'*" + У''У"- Х412у
§ 237. Пусть (x(t),y(t)) - изоэнергетическое смещение. Тогда,
дифференцируя (41t) по t и выражая затем х", у", х"', у"' в d" с помощью
(33) и соотношений, получающихся при дифференцировании (32t), легко
найдем, что
d" = - 2ш {х'х' + у'у' - х"х - у"у} +
+ (Uxx + Uvy) d + 2 [х'У - у"х'], (42)
поскольку ш = const, d = х'у - у'х. Подставляя в (40) выражение [х"у'-
у"х'], получающееся из (42), и замечая, что выражение в фигурных скобках
в (40) и (42) равно в силу (36) и (32i)
2а (х'у - у'х) = 2оid,
придем к уравнению
fdf \'
y4(w+"d=0, (43)
где
и = 2(х"2 + у"2) - 4(х"у' - у"х') и + (4a*-Uxx-Uvv) v*.
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 231
Выражая х", у" с помощью (32i), получим и в виде
в = 2(L2x+U2y) + 4(Uxy'-Uyx')w-(^-Uxx-Uyy)v^ (44) где в силу (З83) и
(314)
у2 = 2 (U + h).
Наконец, полагая в (43) d=vп (см. (38i)), придем к выводу, что уравнение
(43) относительно d принимает форму (39); явное выражение для я = y.{t)
следующее:
v"v - 2у'2 + и
я =---------^-¦ (")
§ 237а. Остается доказать обратное, а именно то, что любому решению n(f)
уравнения (39) соответствует изоэнергетическое смещение (x(f),y(f)),
удовлетворяющее соотношениям (38i) - (382), или что каждому решению cl(t)
уравнения (43) соответствует пара функций x(t), у (t), удовлетворяющих
уравнениям (33) и соотношениям (36), (38г).
Для этого обозначения через d°, х'°, Ux°, . .. значения, которые
принимают функции d(?), x'(t), Ux(x(t), y(t)) при некотором фиксированном
t = f°. Так как в силу (З83) величины х'°, у'0 одновременно в нуль не
обращаются, то пусть, например, х'° ф 0. Определим далее четыре величины
х°, у0, х'°, у'0 с помощью трех линейных соотношений
х'ОуО - у' охо = (46l)
х"ОуО - у"охо + л/оу'о _ у'х'о = d'\ (462)
х'°х'° + У'°У'° = Uxxa + Uyy°. (46з)
Если фиксировать произвольно х°, то эти соотношения представляют собой
линейные алгебраические уравнения относительно трех величин у0, х'°, у'0
с определителем - (х'°х/0 + у'°у'°) Ф 0.
Пусть х = x(f), у- у (f) -решение уравнений (33), соответствующее
начальным значениям х°, у0, х'°, у'0, заданным при t = t°. Тогда
соотношение (36) удовлетворяется, поскольку в силу (46з) интеграл
уравнений (33) записывается именно в виде (35Д и постоянная (352)
обращается в нуль. Следовательно, полагая
d(t) =х'у - у'х, (464)
можно на основании изложенного в § 237 заключить, что функция d=;d(t)
является решением уравнения (43). Кроме того,
214
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
d° = d°, d'° - d'° в силу (46i) - (46z). Так как дифференциальное
уравнение (43) обладает при заданных начальных значениях d!\ d'° только
одним решением, то d(t) = d(t). Таким образом, решение d(t) уравнения
(43) и представлено в желаемом виде (38*).
§ 238. Оставляя в стороне исследования смещения решения x(t), y{t)
уравнений (32i), допустим, что скорость v(t) - (х'2 + у'2),/s вдоль этого
