Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 78

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 202 >> Следующая

для анализа, чем система с п 2? 3 степенями свободы. Действительно, с
одной стороны, можно заменить при любом п в аналитическом случае с
помощью изоэнергетической редукции (см. § 181) 2п-мерное фазовое
пространство (2п - 1)-мерным многообразием. С другой стороны, теория
получающегося 3-мерного многообразия, хотя и достаточно сложна в своих
деталях, если не исключать никаких топологически допустимых многообразий,
но все же в настоящее время не столь безнадежно недоступна, как
соответствующая теория при п > 2.
В этой связи следует упомянуть о теореме Пуанкаре, не имеющей аналогии в
случае большего числа измерений и утверждающей, что если на замкнутом
двумерном многообразии существует пучок кривых, лишенных особенностей (в
частности, точек равновесия), то это многообразие тоиологически
эквивалентно (ориентированному или неориентированному) тору. (В случаях,
рассмотренных в §§ 125, 196-198, 215, 121а, 127а, торы ориентированы,
поскольку исходная система расщепляется на ряд систем, каждая из которых
имеет одну степень свободы и определяет замкнутое одномерное многообразие
(см. (К) § 185); произведение таких многообразий представляет собой,
очевидно, ориентированный тор.)
В дополнение к топологическим выводам в случае п - 2 возникает ряд
формальных аналитических упрощений. Ниже мы и
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
201
ограничимся кругом таких формальных вопросов при п = 2 (что касается
топологических исследований, то см. пример в § 500).
§ 228. Положим п = 2, так что формула (1) § 155 может быть записана в
виде
L = -^(gnx'2 + 2g\zx'y' -f- #22у'г)-\- j\Xr -f- /ау' + U, (1)
где gih, fi, U - шесть заданных функций координат qt = х, #а =¦ у. Без
потери общности можно предположить, что пять
функций fi(x, у), gih(x, у) могут быть выражены через две функ-
ции /(я, у), g(x, у) следующим образом:
h - - yf, h = xf, (2i)
#n = g, #22 = #, #12 = 0 (#>0). (22)
Действительно, можно заменить, во-первых, f\ и /г суммами А + /*, h -!-
fv, ГДе функция / = j(x, у) произвольна (см. § 156). Если подобрать эту
функцию соответствующим образом, а именно так, чтобы она удовлетворяла
линейному дифференциальному
1
уравнению в частных производных ы = -у а, где
2ш = г/j + i//v т 2/, (3)
dh dh
причем а = ~^ --заданная функция (х,у), то мы придем к (2i).
Во-вторых, учитывая (2i) § 155 и предположение о том, что функции gik {х,
у) принадлежат классу С(2), можно рассматривать
ds2 = gadx2 + 2gadx dy + g&dy2
как квадрат линейного элемента на поверхности в евклидовом трехмерном
пространстве, причем х и у играют роль гауссовых параметров. Кроме того,
эта поверхность может быть отображена па евклидову плоскость (?, ц) с
помощью локально топологического и конформного преобразований. Это
означает, что если использовать "изотермические параметры" g = t,{x,
у),ч\ = г\{х, у) в качестве гауссовых параметров на поверхности, то
инвариант ds2 представится как произведение положительной функции # = -
#(?> Л) и евклидовой формы da2 = d?2 + dr\2. Следовательно, возможность
нормализации коэффициентов, выражаемой формулами (2i), вытекает из
изложенного в § 95.
Следует упомянуть, что в случае изотермической нормализации (2г) на
поверхности формула для гауссовой кривизны К = К(х, у)
202
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
приводит К ВИДУ
V 1 ёх "Ь ёу ёёхх ёёуу ...
к=Т ?-----------------------' т
где функция g - g(x, у) >0 предполагается, конечно, принадлежащей к
классу С(2>.
§ 229. Предположим*), что g{x,y) = 1. Тогда из (1) и (2i) - (22) имеем
L = ^(x/^y^) + (xy'~yx')f+U, (50
X=x? - fy, Y = у' + fx, (5г)
где через X, Y обозначены импульсы, т. е. частные производные функции (50
по х', у'. В соответствии с (50 и (3) уравнения Лагранжа [L] * = 0, [L] у
= 0и интеграл энергии (3) § 155 запишутся в виде
х" - 2щ' = Ux, у" + 2ах' = Uy, (61)
^{x'* + y'*)-U(x,y)=h. (62)
Функция Гамильтона, соответствующая (50, равна (см. § 157)
Н = 1(Х* + П ~ (xY - уХ) / - V, (7,)
где
V=U-~{x*+y*)f. (70
В соответствии с (50 и (62) функция (2) § 171 приводится к виду
М = (X'2 + у'2)1/! (2U + 2h) ¦/¦ + {ху' - ух'). (8)
§ 230. Введем в (70 новые координаты ?, т] и импульсы Е, Н с помощью
полностью канонического преобразования, определенного как каноническое
расширение координатного преобразования, обратного к х = *(|, ц), у =
у(?, т]). Предположим, что это координатное преобразование представляет
конформное отображение
*) Это предположение не приводит при фиксированном значении постоянной
интеграла энергии h к потере общности, поскольку можно отождествить
фупкцию С § 180 с функцией g = g[x, у) и применить преобразование,
указанное в § 180, к функции Гамильтона Н 1!*{х2 + у2) g~l + ...,
ассоциированной с функцией Лагранжа L = У" (*'* + у'2) g + ...
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 203
плоскости (х, у) на плоскость (?, ц), т. е. z = х + iy - аналитическая
функция z = z(?) переменной ? = ? + г'т] и Zj ф 0 в рассматриваемой
области (см. § 52). Тогда (70 § 229 преобразовывается в (21) § 52.
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed